Örten Fonksiyon
\( s(A) ≥ s(B)\) olmak üzere,
\(f: A \to B \) fonksiyonu verilsin. B (değer kümesi) de boşta eleman kalmıyorsa bu fonksiyona örten fonksiyon denir. Yani \( f(A) = B \) dir.
Örnekler:
1) \(f: \;A \to B\) fonksiyonu, \(B\) değer kümesinde boşa eleman kalmadığından ötürü örten fonksiyondur.
2) \(f: \;N \to N \quad f(x) = 2x+1 \) fonksiyonu, \(N\) değer kümesinde boşta eleman kaldığından ötürü örten değildir. O halde içine fonksiyondur.
3) \(f: \;Z \to R \quad f(x) = 3x-2 \) fonksiyonu, \(R\) değer kümesinde boşta elemanlar kaldığından \(( f(Z) \neq R )\) ötürü örten fonksiyon değildir. O halde içine fonksiyondur.
Uyarı:
\(f: A \to B, \;\; y= f(x) \) fonksiyonunun örten olup olmadığını anlamak için \(x,y \) cinsinden bulunur. y yerine yazılacak B nin her elemana karşılık, elde edilen x değeri A nın bir elemanı ise bu fonksiyon örtendir.
Örnek:
\( f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \quad y = f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun örten olup olmadığını inceleyelim.
\( y = 2x + 3 \Rightarrow x = \frac{y – 3}{2} \) olur. Burada \( y \) nin her tamsayı değeri için \( x \) tamsayı olmayacağından bu fonksiyon örten değildir. O halde içine fonksiyondur.
Örneğin \( y = 4 \) için \( x = \frac{4 – 3}{2} = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z} \) dir.
SORU 19
\[ s(A) = n^2\; -\; 4 \quad \text{ve } \quad s(B) = 3n \] ise \( f: \; A \to B \) fonksiyonunun örten olabilmesi için \( n \) en az kaç olmalıdır?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3\quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\( f: A \to B \) fonksiyonunun örten olabilmesi için \( s(A) \geq s(B) \) olmalıdır. \( s(A) < s(B) \) iken bu fonksiyonun örten olması mümkün değildir.
\[ s(A) \geq s(B) \Rightarrow n^2 – 4 \geq 3n \] \[ \Rightarrow n^2 – 3n – 4 \geq 0 \] \[ \Rightarrow (n – 4)(n + 1) \geq 0 \] olması için, \( n + 1 > 0 \) olduğundan \( n – 4 \geq 0 \) olmalıdır.
O halde \( n \) en az 4 değerini alır.
\(\textbf{Cevab: D} \)
← Önceki Sayfa | Sonraki Sayfa →