Parçalı Fonksiyon
Tanım aralığının alt aralıklarında farklı birer kuralla tanımlanan her fonksiyona parçalı fonksiyon denir.
Örnek:
\[
f(x) =
\begin{cases}
g(x), & x \le r \ \text{ise},\\
h(x), & x > r \ \text{ise},
\end{cases}
\]
parçalı fonksiyonunda, \(x \le r\) için \(f(x) = g(x)\) ve \(x > r\) için \(f(x) = h(x)\) dir.
Örnek:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & x \le 1 \ \text{ise},\\
x + 1, & 1 < x < 3 \ \text{ise},\\
2x, & x \ge 3 \ \text{ise},
\end{cases}
\]
parçalı fonksiyonu verildiğine göre, \(f(0)\), \(f(2)\) ve \(f(5)\) değerlerini bulalım.
\[
x = 0 \quad\text{için}\quad x \le 1 \quad\text{olduğundan}\quad f(x) = x^2
\quad\Longrightarrow\quad f(0) = 0
\]
\[
x = 2 \quad\text{için}\quad 1 < x < 3
\quad\text{olduğundan}\quad f(x) = x + 1
\quad\Longrightarrow\quad f(2) = 3
\]
\[
x = 5 \quad\text{için}\quad x \ge 3
\quad\text{olduğundan}\quad f(x) = 2x
\quad\Longrightarrow\quad f(5) = 10
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\[
f(3x + 1) =
\begin{cases}
2x + 1, & x \ge -\tfrac{1}{3}\ \text{ise},\\
-x + 1, & x < -\tfrac{1}{3}\ \text{ise},
\end{cases}
\]
verildiğine göre, \(f(0)\) ve \(f(x)\) i bulalım.
\(f(0)\) değerini bulmak için eşitliğin her iki yanına da \(x\) yerine \(-\tfrac{1}{3}\) yazılırsa,
\[
f(3x + 1) = 2x + 1 \]
\[f\bigl(3\cdot(-\frac{1}{3}) + 1\bigr) = 2\cdot\bigl(-\frac{1}{3}\bigr) + 1
= \frac{1}{3}\]
\[f(0) = \frac{1}{3}
\ \text{tür.}
\]
\(f(x)\) ifadesini bulmak için eşitliğin her iki yanına da \(x\) yerine \(\tfrac{x – 1}{3}\) yazılırsa,
\[
f\!\Bigl(3\,\bigl(\tfrac{x – 1}{3}\bigr) + 1\Bigr) =
\begin{cases}
2\!\bigl(\frac{x – 1}{3}\bigr) + 1, & \frac{x – 1}{3} \ge -\frac{1}{3},\\
-\!\bigl(\frac{x – 1}{3}\bigr) + 1, & \frac{x – 1}{3} < -\frac{1}{3},
\end{cases}
\]
yani
\[
\begin{cases}
\frac{2x + 1}{3}, & x \ge 0,\\
\frac{-x + 4}{3}, & x < 0,
\end{cases}
\]
olduğundan
\[
f(x) =
\begin{cases}
\dfrac{2x + 1}{3}, & x \ge 0,\\
\dfrac{-x + 4}{3}, & x < 0,
\end{cases}
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & x < 0\ \text{ise},\\
1 + x, & x \ge 0\ \text{ise},
\end{cases}
\]
olduğuna göre, \((f \circ f)(x)\) i bulalım.
\(x < 0\) için \(f(x) = x^2\), \(\,(f \circ f)(x) = f\bigl(f(x)\bigr) = f(x^2)\)
\[
x < 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x^2 > 0
\quad\Rightarrow\quad
f\bigl(x^2\bigr) = 1 + x^2 \;\text{olur.}
\]
\[
x \ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; f(x) = 1 + x
\quad\text{ve}\quad
(f \circ f)(x) = f\bigl(f(x)\bigr) = f(1 + x).
\]
\[
x \ge 0
\;\;\Longrightarrow\;\;
1 + x \ge 0
\quad\Rightarrow\quad
f(1 + x) = 2 + x
\;\text{olur.}
\]
O hâlde,
\[
(f \circ f)(x) =
\begin{cases}
1 + x^2, & x < 0,\\
2 + x, & x \ge 0,
\end{cases}
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\[
f(x) =
\begin{cases}
1 – x, & x < 1\ \text{ise},\\
x^2 + 1, & x \ge 1\ \text{ise},
\end{cases}
\quad\text{ve}\quad
g(x) =
\begin{cases}
x + 1, & x < 0\ \text{ise},\\
1 – x^2, & x \ge 0\ \text{ise}.
\end{cases}
\]
fonksiyonları veriliyor. \((f + g)(x)\) i bulalım.
\[
x < 0
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) = 1 – x, \quad g(x) = x + 1
\quad\Rightarrow\quad
(f + g)(x) = 2.
\]
\[
x \ge 1
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) = x^2 + 1, \quad g(x) = 1 – x^2
\quad\Rightarrow\quad
(f + g)(x) = 2.
\]
\[
0 \le x < 1
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) = 1 – x, \quad g(x) = 1 – x^2
\quad\Rightarrow\quad
(f + g)(x) = 2 – x – x^2.
\]
O hâlde,
\[
(f + g)(x) =
\begin{cases}
2, & x < 0,\\
2 – x – x^2, & 0 \le x < 1,\\
2, & x \ge 1,
\end{cases}
\]
olarak bulunur.
Örnek:
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x + 1, & x \le 0\ \\
1 – x, & 0 < x < 2\ \\
1, & x \ge 2\
\end{cases}
\quad \text{ve } \quad
g(x) =
\begin{cases}
2, & x \le -2\ \\
1 – 2x, & x > -2\
\end{cases}
\]
fonksiyonları veriliyor. \(
-1 < x < 0
\quad\Longrightarrow\quad
(f – g)(x) \) i bulalım.
\[
-1 < x < 0
\quad\Longrightarrow\quad
f(x) = 2x + 1 \] \[ g(x) = 1 – 2x
\]
\[(f-g)(x) = f(x) – g(x) = 4x
\quad\text{olarak bulunur.}
\]
Örnek:
\[
f(x) =
\begin{cases}
\sqrt{x} + 1, & x \ge 0 \ \text{ise},\\
x^2, & x < 0 \ \text{ise},
\end{cases}
\]
fonksiyonunun tersini bulalım.
\[
x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad
f: [0,\infty)\to[1,\infty),\
y = f(x) = \sqrt{x} + 1 \]
\[ \Rightarrow
y – 1 = \sqrt{x}
\quad\Longrightarrow\quad
(y – 1)^2 = x = f^{-1}(y).
\]
Dolayısıyla
\[
f^{-1} : [1,\infty) \to [0,\infty),
\quad
f^{-1}(x) = (x – 1)^2.
\]
\[
x < 0 \quad\Longrightarrow\quad
f: (-\infty,0)\to(0,\infty),\
y = f(x) = x^2 \]
\[ \Rightarrow\quad
\sqrt{y} = \sqrt{x^2} = |x|.
\]
Ancak \(x < 0\) olduğundan \(\sqrt{y} = -\,x\), dolayısıyla
\[
-\sqrt{y} = x = f^{-1}(y).
\]
Bu durumda
\[
f^{-1} : (0,\infty) \to (-\infty,0),
\quad
f^{-1}(x) = -\sqrt{x}.
\]
O hâlde
\[
f^{-1}(x) =
\begin{cases}
(x – 1)^2, & x \ge 1 \ \text{ise},\\
-\sqrt{x}, & x > 0 \ \text{ise}.
\end{cases}
\]
Görüldüğü gibi \(f\) fonksiyonu bire bir ve örten olmadığından, \(f^{-1}\) fonksiyon olmayıp sadece bir bağıntıdır.
Örnek:
\[
f(x) =
\begin{cases}
2x, & x \ge 0 \ \text{ise},\\
-x^2,& x < 0 \ \text{ise},
\end{cases}
\]
fonksiyonunun tersini bulalım.
\[
x \ge 0 \Longrightarrow
f: [0,\infty)\to[0,\infty),
y = f(x) = 2x\]
\[
\Rightarrow
\frac{y}{2} = x = f^{-1}(y).
\]
Dolayısıyla
\[
f^{-1}: [0,\infty)\to[0,\infty),
\quad
f^{-1}(x) = \frac{x}{2}.
\]
\[
x < 0 \;\;\Longrightarrow\;\; f : (-\infty,0) \to (-\infty,0),
\quad y = f(x) = -x^2
\quad\Longrightarrow\quad
\sqrt{-y} = \sqrt{x^2} = |x|.
\]
\[
x < 0 \;\;\Longrightarrow\;\; |x| = -\,x
\quad\Longrightarrow\quad
-\sqrt{y} = x = f^{-1}(y).
\]
Dolayısıyla
\[
f^{-1} : (-\infty,0) \to (-\infty,0),
\quad f^{-1}(x) = -\,\sqrt{-x}.
\]
O hâlde,
\[
f^{-1}(x) =
\begin{cases}
\dfrac{x}{2}, & x \ge 0,\\[6pt]
-\sqrt{-x}, & x < 0,
\end{cases}
\]
olarak bulunur.
Görüldüğü gibi \(f\) fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyon olduğundan \(f^{-1}\) fonksiyonudur.
Örnek:
\[
f(2 – x) =
\begin{cases}
x + 2, & x \le 0\ \text{ise},\\
-x + 1, & x > 0\ \text{ise},
\end{cases}
\]
veriliyor. \(f(x)\) i bulalım.
\(\Longrightarrow f(x)\) i bulmak için \(x\) yerine \((2 – x)\) yazalım:
\[
f\bigl(2 – (2 – x)\bigr) = f(x).
\]
Buna göre,
\[
f(2 – (2 – x)) =
\begin{cases}
(2 – x) + 2, & 2 – x \le 0 \ \text{ise},\\
-\,(2 – x) + 1, & 2 – x > 0 \ \text{ise}.
\end{cases}
\]
\[
\Longrightarrow
f(x) =
\begin{cases}
4 – x, & x \ge 2,\\
x – 1, & x < 2,
\end{cases}
\]
olarak bulunur.
SORU 34
\[
f(x) =
\begin{cases}
x + 3, & x > 4,\\
2, & x \le 4,
\end{cases}
\qquad
g(x) =
\begin{cases}
x^2, & x > 2,\\
1 – x, & x \le 2.
\end{cases}
\]
Fonksiyonları veriliyor. \((f \circ g \circ f)(4)\) kaçtır?
\[
\text{A) } 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Çözüm:
\[
(f \circ g \circ f)(4) = f\bigl(g\bigl(f(4)\bigr)\bigr).
\]
\[
x = 4 \le 4
\quad\Longrightarrow\quad
f(4) = 2.
\]
\[
2 \le 2
\quad\Longrightarrow\quad
g(2) = 1 – 2 = -1.
\]
\[
-1 \le 4
\quad\Longrightarrow\quad
f(-1) = 2.
\]
Dolayısıyla
\[
(f \circ g \circ f)(4) = 2.
\]
\(\textbf{Cevab: B} \)