Karmaşık Sayıların \( n \) inci Kuvveten Kökleri
\( z \in \mathbb{C} \) ve \( n \in \mathbb{Z}^+ \) olmak üzere,
\( z \) karmaşık sayısının \( n \) inci kuvvetten köklerini \( w_k \) ile gösterelim. Bu durumda, \( w = \sqrt[n]{z} \Leftrightarrow w^n = z \) olur.
Bu denklemin köklerine \( z \) karmaşık sayısının \( n \) inci kuvvetten kökleri denir.
Bu kökleri bulmak için \( z \) karmaşık sayısını kutupsal şekilde yazıp De Moivre eşitliğini kullanacağız.
\( w^n = z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) \)
\( \Rightarrow w_k^n = z = |z|[\cos(\theta + 2k\pi) + i \sin(\theta + 2k\pi)] \)
\( \Rightarrow w_k = z^{\frac{1}{n}} = |z|^{\frac{1}{n}}[\cos(\displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + i \sin(\displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n})] \)
olur.
O halde,
\( w_k = \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \cdot [\cos(\displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n}) + i \sin(\displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n})] \)
\( k = 0, 1, 2, 3, \dots, n \ – \ 1 \) dir.
Buradan bir karmaşık sayının \( n \) inci kuvvetten \( n \) tane kökünün olduğu görülür. Bu köklerin mutlak değerleri birbirine eşit ve \( \sqrt[n]{|z|} \) dir. Köklerin argümentleri ise,
\( \arg(\sqrt[n]{z}) = \displaystyle\frac{\theta + 2k\pi}{n} \) den
\( k = 0 \) için \( \displaystyle\frac{\theta}{n} \)
\( k = 1 \) için \( \displaystyle\frac{\theta + 2\pi}{n} \)
\( k = 2 \) için \( \displaystyle\frac{\theta + 4\pi}{n} \)
…………………………………..
…………………………………..
\( k = n \ – \ 1 \) için \( \displaystyle\frac{\theta + 2(n \ – \ 1)\pi}{n} \) dir.
Buna göre bir \( z \) karmaşık sayısının \( n \) inci kuvvetten köklerinin karmaşık düzlemdeki görüntüleri, merkezi orjinde olan \( \sqrt[n]{|z|} \) yarıçaplı çember üzerinde eşit aralıklarla sıralanır.
Örnek:
\( z = 32 + 32\sqrt{3}\,i \) karmaşık sayısının altıncı kuvvetten köklerini bulalım.
\( w^6 = z = 64(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ) \)
\( \Rightarrow w_k^6 = z = 64 \text{ cis }(60^\circ + k \cdot 360^\circ) \)
\( \Rightarrow w_k = \sqrt[6]{z} = \sqrt[6]{64} \text{ cis }(\displaystyle\frac{60^\circ + k \cdot 360^\circ}{6}) \)
olur. O halde,
\( k = 0 \) için \( w_0 = 2(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ) \)
\( k = 1 \) için \( w_1 = 2(\cos 70^\circ + i \sin 70^\circ) \)
\( k = 2 \) için \( w_2 = 2(\cos 130^\circ + i \sin 130^\circ) \)
\( k = 3 \) için \( w_3 = 2(\cos 190^\circ + i \sin 190^\circ) \)
\( k = 4 \) için \( w_4 = 2(\cos 250^\circ + i \sin 250^\circ) \)
\( k = 5 \) için \( w_5 = 2(\cos 310^\circ + i \sin 310^\circ) \)
olarak bulunur.
Köklerin görüntüleri, merkezi orjinde ve yarıçapının uzunluğu 2 birim olan çemberin üzerine eşit aralıklarla sıralanmışlardır. Bu görüntüler ağırlık merkezi orjinde olan düzgün bir altıgenin köşeleridir.
Örnek:
\( z = \ – \ 16 \) sayısının dördüncü kuvvetten köklerini bulalım.
\( w^4 = z = 16(\cos 180^\circ + i \sin 180^\circ) \)
\( \Rightarrow w_k = \sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{16} \text{ cis }(\displaystyle\frac{180^\circ + k \cdot 360^\circ}{4}) \)
\( k = 0 \) için \( w_0 = 2(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \) olur.
Köklerin görüntüleri, merkezi orjinde ve yarıçapının uzunluğu 2 birim olan tam çember yayının üzerine eşit aralıklarla sıralandığından bu eşit yayları gören merkez açılar birbirine eşit ve \( \displaystyle\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ \) dir.
O halde,
\[ \text{Arg}(w_1) = \text{Arg}(w_0) + 90^\circ = 135^\circ \]
\[ \text{Arg}(w_2) = \text{Arg}(w_1) + 90^\circ = 225^\circ \]
\[ \text{Arg}(w_3) = \text{Arg}(w_2) + 90^\circ = 315^\circ \quad \text{dir. } \]
Buna göre diğer kökler,
\[ w_1 = 2(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ) \]
\[ w_2 = 2(\cos 225^\circ + i \sin 225^\circ) \]
\[ w_3 = 2(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ) \]
olarak bulunur.
Köklerin görüntüleri, ağırlık merkezi orjinde olan bir karenin köşeleridir.
Örnek:
\( z = \ – \ \displaystyle\frac{27\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{27\sqrt{2}}{2}\,i \) karmaşık sayısının küpköklerini bulalım.
\( w^3 = z = 27(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ) = 27 \text{ cis } 135^\circ \)
\( \Rightarrow w_k = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{27} \text{ cis }(\displaystyle\frac{135^\circ + k \cdot 360^\circ}{3}) \)
\( \Rightarrow k = 0 \) için \( w_0 = 3(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ) \)
\( = 3 \text{ cis } 45^\circ \) olur.
\( \text{Arg}(w_1) = \text{Arg}(w_0) + \displaystyle\frac{360^\circ}{3} = 165^\circ \)
\( \text{Arg}(w_2) = \text{Arg}(w_1) + \displaystyle\frac{360^\circ}{3} = 285^\circ \) dir.
Buna göre diğer kökler,
\( w_1 = 3(\cos 165^\circ + i \sin 165^\circ) \)
\( = 3 \text{ cis } 165^\circ \)
\( w_2 = 3(\cos 285^\circ + i \sin 285^\circ) \)
\( = 3 \text{ cis } 285^\circ \)
olarak bulunur.
Köklerin görüntüleri, ağırlık merkezi orjinde olan bir eşkenar üçgenin köşeleridir.
Örnek:
\( z = 8i \) karmaşık sayısının küpköklerini bulalım.
\( w^3 = z = 8(\cos 90^\circ + i \sin 90^\circ) \)
\( \Rightarrow w_k = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{8} \text{ cis }(\displaystyle\frac{90^\circ + k \cdot 360^\circ}{3}) \)
\( \Rightarrow k = 0 \) için \( w_0 = 2(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ) \) olur.
\( \text{Arg}(w_1) = \text{Arg}(w_0) + 120^\circ = 150^\circ \)
\( \text{Arg}(w_2) = \text{Arg}(w_1) + 120^\circ = 270^\circ \) dir.
Buna göre diğer kökler,
\( w_1 = 2(\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ) \)
\( w_2 = 2(\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ) \) olarak bulunur.
Köklerin görüntüleri, ağırlık merkezi orjinde olan bir eşkenar üçgenin köşeleridir.
Örnek:
\( z = 1 + \sqrt{3}\,i \) karmaşık sayısının kareköklerini bulalım.
\( w^2 = z = 2(\cos\displaystyle\frac{\pi}{3} + i \sin\displaystyle\frac{\pi}{3}) \)
\( \Rightarrow w_k = \sqrt{z} = \sqrt{2}[\cos(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2}) + i \sin(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi}{2})] \)
\( k = 0 \) için \( w_0 = \sqrt{2}(\cos\displaystyle\frac{\pi}{6} + i \sin\displaystyle\frac{\pi}{6}) \)
\( = \sqrt{2}(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle\frac{1}{2}\,i) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3} + i) \)
\( k = 1 \) için \( w_1 = \sqrt{2}[\cos(\displaystyle\frac{\pi}{6} + \pi) + i \sin(\displaystyle\frac{\pi}{6} + \pi)] \)
\( = \sqrt{2}(\ – \ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ – \ \displaystyle\frac{1}{2}\,i) = \ – \ \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{3} + i) \) bulunur.
Burada kareköklerin ters işaretli (\( w_1 = \ – \ w_0 \)) olduğu görülür
Sonuç:
\( z = |z|(\cos\theta + i \sin\theta) \) karmaşık sayısının karekökleri,
\( w_0 = \sqrt{|z|}(\cos\displaystyle\frac{\theta}{2} + i \sin\displaystyle\frac{\theta}{2}) \)
\( w_1 = \ – \ w_0 = \sqrt{|z|}[\cos(\displaystyle\frac{\theta}{2} + \pi) + i \sin(\displaystyle\frac{\theta}{2} + \pi)] \)
dir.
Örnek:
\( z = \ – \ 9i \) karmaşık sayısının kareköklerini bulalım.
\( |z| = 9 \) ve \( \text{Arg}(z) = \displaystyle\frac{3\pi}{2} \) dir.
\( w_0 = \sqrt{|z|} \text{ cis }(\displaystyle\frac{\theta}{2}) \Rightarrow w_0 = 3 \text{ cis } \displaystyle\frac{3\pi}{4} \)
\( w_1 = \sqrt{|z|} \text{ cis }(\displaystyle\frac{\theta}{2} + \pi) \Rightarrow w_1 = 3 \text{ cis } \displaystyle\frac{7\pi}{4} \) bulunur.
Örnek:
\( z = \ – \ 1 \ – \ \sqrt{3}\,i \) karmaşık sayısının kareköklerini bulalım.
\( |z| = 2 \) ve \( \text{Arg}(z) = 240^\circ \) dir.
\( w_0 = \sqrt{|z|} \text{ cis }(\displaystyle\frac{\theta}{2}) \Rightarrow w_0 = \sqrt{2} \text{ cis } 120^\circ \)
\( w_1 = \sqrt{|z|} \text{ cis }(\displaystyle\frac{\theta}{2} + 180^\circ) \Rightarrow w_1 = \sqrt{2} \text{ cis } 300^\circ \)
olarak bulunur.
Örnek:
\( z = \ – \ 5 + 12i \) karmaşık sayısının kareköklerini bulalım.
Bu karmaşık sayıyı kutupsal şekilde yazmak için trigonometrik cetvelden değerler bulmak gerekecektir. Bundan dolayı bu karmaşık sayıyı kutupsal şekilde yazmadan kareköklerini bulacağız.
\( w = \sqrt{z} = x + yi \) olsun.
\( w^2 = z \Rightarrow (x + yi)^2 = \ – \ 5 + 12i \)
\( \Rightarrow x^2 \ – \ y^2 + 2xyi = \ – \ 5 + 12i \)
\( \Rightarrow x^2 \ – \ y^2 = \ – \ 5 \) ve \( 2xy = 12 \)
denklemleri çözülürse,
\( x_1 = 2 \) ve \( y_1 = 3 \) ile \( x_2 = \ – \ 2 \) ve \( y_2 = \ – \ 3 \) olur.
O halde,
\( w_1 = 2 + 3i \) , \( w_2 = \ – \ 2 \ – \ 3i \) olarak bulunur.
SORU 38
\( |z| = 1 \quad \) ise \( z^{20} \ – \ z^{10} \ – \ 2 = 0 \) denklemini sağlayan \( z \) karmaşık sayılarından birisi aşağıdakilerden hangisidir?
\[ A) \cos 36^\circ + i \sin 36^\circ \] \[ B) \cos 20^\circ + i \sin 20^\circ \] \[ C) \cos 18^\circ + i \sin 18^\circ \] \[ D) \cos 10^\circ + i \sin 10^\circ \] \[ E) \cos 9^\circ + i \sin 9^\circ \]
Çözüm:
\( z^{20} \ – \ z^{10} \ – \ 2 = 0 \Rightarrow (z^{10} + 1)(z^{10} \ – \ 2) = 0 \)
\( \Rightarrow z^{10} = \ – \ 1 \) veya \( z^{10} = 2 \)
\( |z| = 1 \) olduğundan,
\( \Rightarrow z^{10} = \ – \ 1 = \cos 180^\circ + i \sin 180^\circ \)
\( \Rightarrow z = \text{ cis }(\displaystyle\frac{180^\circ + k \cdot 360^\circ}{10}) \)
\( k = 0 \) için köklerden biri,
\( w = \cos 18^\circ + i \sin 18^\circ \) dir.
\( \textbf{Cevap : C} \)