Üstel Fonksiyon
\( a \in \mathbb{R}^+ \) ve \( a \neq 1 \) olmak üzere,
\( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \), \( f(x) = a^x \)
şeklindeki fonksiyonlara üstel fonksiyon denir. Burada \( a \in \mathbb{R}^- \) için \( f(x) = a^x \) bağıntısı \( \mathbb{R} \) de bir fonksiyon değildir.
Örnek:
\( f(x) = (\ – 2)^x \) bağıntısında
\( x = \displaystyle\frac{1}{2} \) için \( f(\displaystyle\frac{1}{2}) = (\ – 2)^{1/2} \notin \mathbb{R} \)
Ayrıca \( a = 1 \) için \( f(x) = a^x = 1 \) fonksiyonu \( \mathbb{R} \) de bir sabit fonksiyon olduğundan bire bir ve örten değildir.
Buna göre,
\( a \in \mathbb{R}^+ \) ve \( a \neq 1 \) için \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \), \( f(x) = a^x \) üstel fonksiyonu bire bir ve örtendir.
Şimdi de üstel fonksiyonun değişim tablosunu yaparak grafiğini çizelim.
1. \( a > 1 \) için,
\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty \\
\hline
y = a^x & 0 & \nearrow & 1 & \nearrow & a & \nearrow & +\infty
\end{array}
\]
\( y = a^x \ (a > 1) \)
2. \( 0 < a < 1 \) için,
\[
\begin{array}{r|lccccc}
x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty \\
\hline
y = a^x & +\infty & \searrow & 1 & \searrow & a & \searrow & 0
\end{array}
\]
\[ y = a^x \quad (0 < a < 1) \]
Örnek:
\( y = 2^{\ – \ x} \ + \ 2 \Rightarrow y = (\displaystyle\frac{1}{2})^x \ + \ 2 \)
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\[ y = (\displaystyle\frac{1}{2})^x \]
\[ y = (\displaystyle\frac{1}{2})^x \ + \ 2 \]
\( y = 2^{\ – \ x} \ + \ 2 \) fonksiyonunun grafiği \( y = 2^{\ – \ x} \) fonksiyonunun grafiğinin, Oy ekseninin pozitif yönünde 2 birim ötelenmiş şeklidir.
Örnek :
\( y = \ – \ 3^x \ – \ 1 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\( y = \ – \ 3^x \) fonksiyonunun grafiği \( y = 3^x \) fonksiyonunun grafiğinin Ox eksenine göre simetriğidir.
\( y = \ – \ 3^x \ – \ 1 \) fonksiyonunun grafiği \( y = \ – \ 3^x \) fonksiyonunun grafiğinin Oy ekseninin negatif yönünde 1 birim ötelenmiş şeklidir.
Örnek :
\( y = (\displaystyle\frac{2}{3})^{x \ – \ 1} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\[ y = (\displaystyle\frac{2}{3})^{x \ – \ 1} = \displaystyle\frac{3}{2} \cdot (\displaystyle\frac{2}{3})^x \]
Örnek :
\( y = 4^{|x|} \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
\( x \geq 0 \) için \( y = 4^{|x|} = 4^x \)
\( x < 0 \) için \( y = 4^{|x|} = 4^{\ – \ x} = (\displaystyle\frac{1}{4})^x \)