Herhangi Bir Tabana Göre İşlemler
Ayni tabana göre yazılmış iki sayının toplamı, çarpımı ve farki 10 tabanına göre yapılan işlemlere benzer işlemlerle bulunur. Fakat göz önüne alınması gereken iki durum vardır.
- Birincisi, toplama ve çarpma islemi yapılırken islem süresince ortaya çıkan sayılarda taban değerinin katları elde olarak bir sonraki isleme eklenir.
- İkincisi ise çıkarma işlemi yapılırken gerektiğinde bir soldaki basamaktan 1 (bir) alındığı taktirde bu 1 in aktarıldığı basamağa katkısı tabanın değeri kadardır.
Örnekler:
- \((2)_6 + (3)_6=(5)_6\)
- \((31)_6 + (14)_6=(45)_6\)
- \((3)_6+(3)_6=(10)_6\)
Açıklama: 3+3 =6 olur. 6 tabanında 6 yazılamayacağından 6 içinde kaç tane 6 olduğuna bakılır. 6 da 6 bir kere var. O halde elde 1 vardır. 6 dan elde olan 1 tane 6 çıkarılırsa geriye 0 kalır. Geriye kalan bu 0 birler basamağına yazılır. Eldeki 1 de bir sonraki basamağa yani 6 lar basamağına katılır. Baska islem olmadığından 6 lar basamağında sadece 1 bulunur. Buna göre \((3)_6+(3)_6=(10)_6\). Başka bir örneğe bakalım;
\[ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}
(3214)_6\\
+(235)_6\\
\hline
(3453)_6
\end{array} \]
Birler basamağındaki 4 ile 5 toplanırsa 9 eder. 9, 6’dan büyük olduğundan 9’u 6’ya bölersek; 9’da 6 bir kere vardır. O halde elde 1 olur. 9’dan eldeki 1 tane 6 çıkarılırsa geriye kalan 3 birler basamağına yazılır. Elde kalan 1 ise 6’lar basamağındaki işleme 1 olarak eklenir. 6 lar basamağındaki 1 ile 3 toplanırsa 4 olur. Eldeki 1 de 4e eklenirse 5 olur. Bu 5,6 dan küçük olduğu için aynen 6 lar basamağına yazılır. Bu şekilde diğer basamaklarda da ayni işlemler yapılır.
Çarpma işlemi
\[ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}
(343)_5\\
\times(34)_5\\
\hline
\;\;\;\;\;\;(3032)_5\\
+(2134)_5\\
\hline
\;\;\;\;\;\;(24422)_5\\
\end{array} \]
Açıklama: \(4 . 3 = 12 = (22)_5\) işlemi sonunda bulunan birler basamağındaki 2 birler basamağına yazıldı ve 5 ler basamağındaki 2 elde olarak \(4 . 4 = 16\) sonucuna eklenip \(18 = (33)_5\) bulundu; buradaki birler basamağındaki 3 beşler basamağına yazıldı, beşler basamağındaki 3 ise elde olarak \(4. 3 = 12\) sonucuna eklenip \(15 = (30)_5\) bulundu. Buradaki 0 (sıfır) yirmi beşler basamağına yazıldı ve beşler basamağındaki 3 elde olarak (başka bir işlem yapılmadığından yüz yirmi, beşler basamağına yazılarak \((343)_5.(4)_5 = (3032)_5\) elde edildi.
Benzer işlemler yapılarak da
$$(343)_5\cdot(3)_5 = (2134)_5$$
bulundu. 10 tabanındaki işlemlerde olduğu gibi ikinci çarpma işleminin sonucu, birincinin altına yazılırken sağdan bir basamak sola kaydırılarak yazıldı ve bu iki sonuç toplanarak \((343)_5\cdot (34)_5\) çarpma işleminin sonucu \((24422)_5\) olarak bulundu.
İki örnek daha yapacak olursak;
- \[ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}
\;\;(101101)_2\\
\;\;\times\;\;(101)_2\\
\hline
\;\;(101101)_2\\
+(101101)_2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline
\;\;(11100001)_2\\\
\end{array} \]
- \[ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}
\;\;(3454)_6\\
\times\;\;(345)_6\\
\hline
\;\;(31042)_6\\
(23144)_6\;\;\;\\
\;\;+(15250)_6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\
\hline
(2231522)_6\;\;\;\;\\\
\end{array} \]
Çıkarma işlemi
\[ \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}
\;\;(30324)_5\\
-(12343)_5\\
\hline
\;\;(12431)_5\\
\end{array} \]
Açıklama: Birler basamağında 4 – 3 = 1 sonucu birler basamağına yazılır. Beşler basamağındaki 2 den 4 çıkarıldığına göre bir soldan (yirmi beşler basamağından) 1 alınarak (değeri 5 olduğundan) 2 ye eklenirse 2+5=7 olur. 7-3=4 sonucu beşler basamağına yazılır. Yirmi beşler basamağındaki 3 ten 1 alındığı için geriye 2 kalmıştır. 2 den 3 çıkmayacağından bir soldaki basamaktan, orada da 0 olduğundan onun solundaki basamaktan (altı yüz yirmi beşler basamağından) bir tane bir alınıp bir sağa (yüz yirmi beşler basamağına) aktarılıp buradaki sıfıra eklenirse (1 in değeri 5 olduğu için) 5 olur. Bu 5 ten de 1 alınıp bir sağa (yirmi beşler basamağına) aktarılıp burada kalan 2 ile toplanırsa (1 in değeri 5 olduğundan) 7 eder. 7 – 3 = 4 sonucu yirmi beşler basmağına yazılır.Yüz yirmi beşler basamağındaki 5 ten (altı yüz yirmi beşler basamağından alınan 5 ten) 1 alındığı için geriye kalan 4 ten 2 çıkarılırsa 4 – 2 = 2 olur. Bu sonuç yüz yirmi beşler basamağına yazılır. En soldaki 3 ten 1 alınıp sağa aktarıldiğı için geriye kalan 2 den 1 çıkarılırsa 2 – 1 = 1 sonucu da altı yüz yirmi beşler basamağına yazılır.
\[
\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}}
\begin{array}{r}
\;\;(6543)_7 \\
-(2343)_7 \\
\hline
\;\;(4200)_7 \\
\end{array}
&
\begin{array}{r}
\;\;(1234)_5 \\
-(321)_5 \\
\hline
\;\;(0413)_5 \\
\end{array}
&
\begin{array}{r}
\;\;(53C47)_{15} \\
-(4A35)_{15} \\
\hline
\;\;(4E212)_5 \\
\end{array}
\end{array}
\]
Bölme işlemi
10 tabanında olduğu gibi bölünen sayı içerisinde bölüm araştırılırken bölünenin basamaklarına soldan sağa doğru bakılmalı ve bölünen ile bölen in 10 tabanındaki değerlerine göre bölüm tespit edilip bundan sonraki çarpma ve çıkarma işlemi bölme yapılan tabana göre yapılmalıdır.
Yada bölen ve bölünen 10`luk tabana çevrilir ve bildiğimiz bölme işlemi yapılır ve sonuç istenen tabana çevrilir.
Örnek:
Verilen bölme işlemi: \((41)_5 \div (12)_5\) olsun\[
\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}}
\textbf{Adım 1: Sayıları Onluk Sisteme Çevirme}\\
\\
(41)_5 = 21\\
(12)_5 = 7\\
\\
\textbf{Adım 2: Onluk Sistemde Bölme İşlemi}\\
\\
21\div7=3\\
\\
\textbf{Adım 3: Sonucu Taban 5’e Çevirme ve Kontol}\\
\\
\text{Sonuç 3 hem 10 hem de 5 tabanında aynı değere sahip olduğundan herhangi bir dönüşüm uygulanmaz}\\
(12)_5\cdot(3)_5=(41)_5
\end{array}
\]
Örnek:
Verilen bölme işlemi: \((114332)_5 \div (23)_5\) olsun
\[
\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}}
\textbf{Adım 1: Sayıları Onluk Sisteme Çevirme}\\
\\
(114332)_5 \div (23)_5
\end{array}
\]
Öncelikle, sayıları taban 10’a çevirelim:
Bölen:
\[
(23)_5 = 2 \times 5^1 + 3 \times 5^0 = 10 + 3 = 13_{10}
\]
Bölünen:
\[
(114332)_5 = 1 \times 5^5 + 1 \times 5^4 + 4 \times 5^3 + 3 \times 5^2 + 3 \times 5^1 + 2 \times 5^0
\]
\[
\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}}
= 3125 + 625 + 500 + 75 + 15 + 2 = 4342_{10}\\
\\
\textbf{Adım 2: Onluk Sistemde Bölme İşlemi}\\
\end{array}
\]
\[
4342 \div 13 = 334
\]
\[
\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}}
\textbf{Adım 3: Sonucu Taban 5’e Çevirme}\\
\\
334_{10} = 2 \times 5^3 + 3 \times 5^2 + 1 \times 5^1 + 4 \times 5^0 = (2314)_5\\
\\
\end{array}
\]