Partialbruchzerlegung
Es seien $a, b, c, A, B, C \in \mathbb{R}$, $m, n \in \mathbb{Z}^+$ und $ax^2 + bx + c$ ein über $\mathbb{R}$ irreduzibles Polynom. Rationale Ausdrücke der Form
\[
\frac{A}{(ax + b)^m} \quad \text{und} \quad \frac{Bx + C}{(ax^2 + bx + c)^n}
\]
werden als Partialbrüche (oder einfache Brüche) bezeichnet.
Beispiel:
\( \bullet \quad \) Die folgenden Ausdrücke sind Partialbrüche:
\[ \frac{3}{(2x + 1)^4} , \quad \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1} , \quad \frac{1}{x^2 + 1} \]
\( \bullet \quad \) Die folgenden Ausdrücke sind keine Partialbrüche:
\[ \frac{1}{x^2 – 4} , \quad \frac{2x}{(x – 1)(x – 3)} , \quad \frac{x^2}{x^2 + x + 1} \]
Um eine rationale Funktion in eine Summe von Partialbrüchen zu zerlegen, geht man wie folgt vor:
1) Zuerst wird das Polynom im Nenner des rationalen Ausdrucks in seine reellen irreduziblen Faktoren zerlegt. Diese Faktoren bestimmen die Nenner der resultierenden Partialbrüche.
2) Der Zähler jedes Partialbruchs wird als allgemeines Polynom angesetzt, dessen Grad genau um eins kleiner ist als der Grad des jeweiligen Nenners.
3) Die Partialbrüche werden durch Bestimmen des Hauptnenners gleichnamig gemacht. Anschließend werden die unbekannten Koeffizienten im Zähler mittels eines Koeffizientenvergleichs bestimmt.
Beispiel:
Wir wollen den folgenden rationalen Ausdruck in Partialbrüche zerlegen:
\[
\frac{x + 2}{x^2 – 5x + 6}
\]
Zuerst zerlegen wir den Nenner in Linearfaktoren:
\[
\frac{x + 2}{(x – 2)(x – 3)} = \frac{A}{x – 2} + \frac{B}{x – 3}
\]
Wir machen die Brüche gleichnamig:
\[
= \frac{A (x – 3) + B (x – 2)}{(x – 2)(x – 3)}
\]
Da die Nenner auf beiden Seiten der Gleichung identisch sind, müssen auch die Zähler übereinstimmen. Es gilt also:
\[
x + 2 = (A + B)\cdot x \;- \;3A \;- \; 2B
\]
Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir das lineare Gleichungssystem:
\[
A + B = 1 \quad \text{und} \quad -3A – 2B = 2
\]
Daraus ergeben sich die Werte \( A = -4 \) und \( B = 5 \). Somit lautet die Zerlegung:
\[
\frac{x + 2}{x^2 – 5x + 6} = \frac{-4}{x – 2} + \frac{5}{x – 3}
\]
Hinweis:
Wenn der Nenner ausschließlich reelle und voneinander verschiedene Nullstellen besitzt, lassen sich die Koeffizienten durch geschicktes Einsetzen dieser Nullstellen direkt bestimmen, ohne ein vollständiges Gleichungssystem lösen zu müssen (Einsetzmethode oder Heaviside-Verfahren).
Beispiel:
Wir zerlegen den folgenden rationalen Ausdruck in Partialbrüche:
\[
\frac{x + 2}{x^3 – 3x^2 + 2x}
\]
Die Faktorisierung des Nenners liefert drei lineare Faktoren:
\[
\frac{x + 2}{x(x – 1)(x – 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x – 1} + \frac{C}{x – 2}
\]
Bringen der Brüche auf den Hauptnenner führt auf:
\[
\frac{x + 2}{x(x – 1)(x – 2)} = \frac{A(x – 1)(x – 2) + Bx(x – 2) + Cx(x – 1)}{x(x – 1)(x – 2)}
\]
Daraus folgt für die Zählerpolynome:
\[
\Rightarrow x + 2 = A(x – 1)(x – 2) + Bx(x – 2) + Cx(x – 1)
\]
Wir setzen nun nacheinander die Nullstellen des Nenners (\( 0, 1, 2 \)) in diese Identität ein:
Für \( x = 0 \):
\[
0 + 2 = A \cdot (0-1) \cdot (0-2) + 0 + 0 \Rightarrow A = 1
\]
Für \( x = 1 \):
\[
1 + 2 = 0 + B \cdot 1 \cdot (1 – 2) + 0 \Rightarrow B = -3
\]
Für \( x = 2 \):
\[
2 + 2 = 0 + 0 + C \cdot 2 \cdot (2 – 1) \Rightarrow C = 2
\]
Die Partialbruchzerlegung lautet folglich:
\[
\frac{x + 2}{x^3 – 3x^2 + 2x} = \frac{1}{x} – \frac{3}{x – 1} + \frac{2}{x – 2}
\]
Beispiel:
Wir zerlegen den folgenden rationalen Ausdruck in Partialbrüche:
\[
\frac{1}{x^3 – x^2 + x – 1}
\]
Durch Ausklammern erhalten wir die Nennerfaktoren:
\[
\frac{1}{(x – 1)(x^2 + 1)} = \frac{A}{x – 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}
\]
Multiplikation mit dem Hauptnenner führt zu der Zählergleichung:
\[
\frac{1}{(x – 1)(x^2 + 1)} = \frac{A (x^2 + 1) + (Bx + C) (x – 1)}{(x – 1)(x^2 + 1)}
\]
\[
\Rightarrow 1 = A (x^2 + 1) + (Bx + C) (x – 1)
\]
Wir nutzen die reelle Nullstelle \( x = 1 \) sowie weitere geschickt gewählte Werte für \( x \):
Für \( x = 1 \):
\[
1 = A(1^2 + 1) + 0 \Rightarrow A = \frac{1}{2}
\]
Für \( x = 0 \):
\[
1 = A(0^2 + 1) + (B \cdot 0 + C) \cdot (0 – 1) \Rightarrow C = -\frac{1}{2}
\]
Für \( x = 2 \):
\[
1 = \frac{1}{2} (2^2 + 1) + \left(B \cdot 2 – \frac{1}{2}\right) \cdot (2 – 1) \Rightarrow B = -\frac{1}{2}
\]
Einsetzen der berechneten Konstanten liefert das Endergebnis:
\[
\frac{1}{x^3 – x^2 + x – 1} = \frac{\frac{1}{2} }{x – 1} + \frac{-\frac{1}{2}x\; -\; \frac{1}{2}}{x^2 + 1}
\]
\[
= \frac{1}{2(x – 1)} \;-\; \frac{x + 1}{2(x^2 + 1)}
\]
AUFGABE 18
Gegeben sei die algebraische Identität
\[
\frac{x^3}{x^2 \;- \; x \;-\; 2} = A x + B + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x \;-\; 2}
\]
Wie groß ist die Summe \( C + D \)?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Da der Grad des Zählerpolynoms größer oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist, führen wir zunächst eine Polynomdivision durch:
\[
\begin{array}{r|l}
x^3 \phantom{aaaaaaaaa}& x^2 – x-2 \\
x^3\; – \;x^2 \;- \; 2x & \rule{35mm}{0.35mm} \\
– \rule{45mm}{0.35mm} & x+1 \\
x^2 + 2x \phantom{aa}&\\
x^2-x-2\\
– \rule{45mm}{0.35mm} \\
3x+2
\end{array}
\]
Hieraus ergibt sich für die rationale Funktion die Darstellung:
\[
\frac{x^3}{x^2 – x – 2} = x + 1 + \frac{3x + 2}{x^2 – x – 2}
\]
Daraus lässt sich der ganzrationale Anteil ablesen ($A=1$, $B=1$). Nun führen wir für den verbleibenden echt gebrochen-rationalen Anteil die Partialbruchzerlegung durch:
\[
= x + 1 + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x – 2}
\]
Daraus folgt der Ansatz für den Restterm:
\[
\frac{3x + 2}{x^2 – x – 2} = \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x – 2}
\]
Durch Bestimmung der Koeffizienten erhalten wir:
\[
\Rightarrow C = \frac{1}{3} \quad \text{und} \quad D = \frac{8}{3}
\]
Die gesuchte Summe lautet demnach:
\[
C + D = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)