Gegenseitige Lage zweier Parabeln

 

Um die Lagebeziehung zweier Parabeln mit den Gleichungen \( y = ax^2 + bx + c \) und \( y = px^2 + qx + r \) zu untersuchen, werden die Funktionsgleichungen gleichgesetzt und das resultierende Gleichungssystem gelöst.

1) Wenn \( a = p \) und \( b \ne q \),

Die beiden Parabeln schneiden sich in genau einem Punkt.

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= ax^2 + bx + c \\
y &= px^2 + qx + r
\end{aligned}
\right\}\]

\[\Rightarrow ax^2 + bx + c = px^2 + qx + r \]
\[\Rightarrow bx + c = qx + r\]

Da die Koeffizienten des quadratischen Glieds gleich sind, heben sich diese auf. Die Lösung dieser linearen Gleichung liefert die x-Koordinate (Abszisse) des einzigen Schnittpunkts.

Beispiel:

 

Wir untersuchen die Lagebeziehung der Parabeln \( y = x^2 – x + 3 \) und \( y = x^2 – 3x + 5 \).

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= x^2 – x + 3 \\
y &= x^2 – 3x + 5
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow x^2 – x + 3 = x^2 – 3x + 5 \]
\[\Rightarrow x = 1 \]

Da die quadratischen Koeffizienten identisch sind, die linearen jedoch nicht, existiert genau ein Schnittpunkt. Die y-Koordinate bestimmen wir durch Einsetzen von \( x = 1 \) in eine der Gleichungen:

\[ \text{Für } x = 1 \text{ in } y = x^2 – x + 3 \Rightarrow y = 1^2 – 1 + 3 = 3. \]

Der Schnittpunkt lautet somit \( (1, 3) \).

 

2) Wenn \( \quad   a \ne p \),

Es gibt drei mögliche Lagebeziehungen zwischen den beiden Parabeln. Das mathematische Vorgehen zur Untersuchung dieser Fälle entspricht exakt dem Verfahren zur Bestimmung der Lagebeziehung zwischen einer Parabel und einer Geraden.

 

Beispiel:

 

Wir untersuchen die Lagebeziehung der Parabeln \( y = 2x^2 \) und \( y = x^2 + x + 2 \).

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= 2x^2 \\
y &= x^2 + x + 2
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow 2x^2 = x^2 + x + 2 \]
\[\Rightarrow x^2 – x – 2 = 0 \]
\[ \Rightarrow x_1 = -1 \quad  \text{ oder } \quad   x_2 = 2 \]

Da die quadratische Gleichung zwei reelle Lösungen besitzt, schneiden sich die Parabeln in zwei verschiedenen Punkten. Nun berechnen wir die entsprechenden y-Koordinaten:

\[ \text{Einsetzen in } y = 2x^2: \]
\[\text{Für } x_1 = -1 \quad \Rightarrow \quad y_1 = 2 \]
\[ \text{Für } x_2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y_2 = 8 \]

Die Schnittpunkte lauten \( (-1, 2) \) und \( (2, 8) \).

 

 

Beispiel:

 

Wir untersuchen die Lagebeziehung der Parabeln \( y = x^2 – 4x + 4 \) und \( y = -x^2 + 2 \).

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= x^2 – 4x + 4 \\
y &= -x^2 + 2
\end{aligned}
\right \}
\Rightarrow x^2 – 4x + 4 = -x^2 + 2 \]

\[ \Rightarrow 2x^2 – 4x + 2 = 0 \]
\[ \Rightarrow x_1 = x_2 = 1 \]

Da wir eine doppelte Nullstelle erhalten, berühren sich die beiden Parabeln. Die y-Koordinate des Berührpunktes ermitteln wir wie folgt:

\[ \text{Für } x = 1 \text{ in } y = -x^2 + 2 \Rightarrow y = -(1)^2 + 2 = 1. \]

Der Berührpunkt liegt bei \( (1, 1) \).

 

Beispiel:

 

Wir untersuchen die Lagebeziehung der Parabeln \( y = 2x^2 + 1 \) und \( y = x^2 \).

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= 2x^2 + 1 \\
y &= x^2
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow 2x^2 + 1 = x^2 \]
\[\Rightarrow x^2 + 1 = 0\]
\[\Rightarrow \Delta < 0 \]

Da die Diskriminante negativ ist, besitzt die Gleichung keine reellen Lösungen. Die Parabeln haben somit keinen gemeinsamen Punkt.

 

 

AUFGABE 15

 

In der nebenstehenden Abbildung stellt \( T \) den Scheitelpunkt der Parabel dar. Welchen x-Wert (Abszisse) besitzt der Punkt A?

\[
\text{A)} 7  \quad
\text{B) } 6 \quad
\text{C) } 5 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 3
\]

 

Lösung:

 

Zuerst berechnen wir die Nullstelle der Geraden \( y = x + 1 \), indem wir \( y = 0 \) setzen:

\[
y = 0 = x + 1 \Rightarrow x_1 = -1
\]

Da sich Gerade und Parabel auf der x-Achse schneiden, ist \( x_1 = -1 \) auch eine Nullstelle der Parabel. Da die Symmetrieachse (Scheitelpunktkomponente) bei \( r = 1 \) liegt, gilt:

\[
r = \frac{x_1 + x_2}{2} \Rightarrow 1 = \frac{-1 + x_2}{2} \Rightarrow x_2 = 3
\]

Die Parabelgleichung lässt sich somit in der Produktform ansetzen:
\[ y = a(x – x_1)(x – x_2) \]
\[ y = a(x + 1)(x – 3) \]

Durch Einsetzen des y-Achsenabschnitts \( (0, -3) \) bestimmen wir den Streckungsfaktor \( a \):

\[
\text{Für } x = 0: \quad y = -3 = a(0 + 1)(0 – 3) \Rightarrow a = 1
\]

Daraus ergibt sich die Parabelgleichung:
\[ y = (x + 1)(x – 3) = x^2 – 2x – 3 \]

Nun ermitteln wir die Schnittpunkte von Parabel und Gerade durch Gleichsetzen:

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= x^2 – 2x – 3 \\
y &= x + 1
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow x^2 \;-\; 2x\; -\; 3 = x + 1 \]
\[\Rightarrow x^2 – 3x – 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ oder } x = 4
\]

Da Punkt A der Schnittpunkt im positiven Bereich ist, beträgt die x-Koordinate des Punktes A genau 4.

 

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

AUFGABE 16

 

In der folgenden Abbildung ist die Gerade \( y = 2x + n \) tangential zu einer Parabel \( y = mx^2 – m^2x + x – 4m \), deren Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt.

Welchen Wert hat \( n \)?

\[
\text{A)} -5  \quad
\text{B) } -6 \quad
\text{C) } -7 \quad
\text{D) } -8 \quad
\text{E) } -9
\]

 

Lösung:

 

Wir ordnen die Terme der Parabelgleichung nach Potenzen von x:

\[
y = mx^2 – m^2x + x – 4m \Rightarrow y = mx^2 + (1 – m^2)x – 4m
\]

Da der Scheitelpunkt der Parabel auf der y-Achse liegt, muss der lineare Koeffizient verschwinden (\( b = 0 \)):

\[
1 – m^2 = 0 \Rightarrow m = -1 \text{ oder } m = 1
\]

Aus der Grafik ist ersichtlich, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, woraus \( m > 0 \) folgt. Demnach ist \( m = 1 \) und die Gleichung vereinfacht sich zu:
\[ y = x^2 – 4 \]

Wir setzen nun Parabel und Gerade gleich, um das gemeinsame Gleichungssystem aufzustellen:

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= x^2 – 4 \\
y &= 2x + n
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow x^2 – 4 = 2x + n \]
\[\Rightarrow x^2 – 2x – 4 – n = 0
\]

Da die Gerade die Parabel berührt, darf diese quadratische Gleichung nur genau eine reelle Lösung besitzen. Ihre Diskriminante muss folglich gleich null sein (\( \Delta = 0 \)):

\[ \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4 – n) = 0 \]
\[ \Rightarrow 4 + 16 + 4n = 0 \]
\[ \Rightarrow 4n = -20 \Rightarrow n = -5 \]

 

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

AUFGABE 17

 

Welche y-Koordinate besitzt der Punkt auf der Parabel \( y = -x^2 – x + 2 \), der den kürzesten Abstand zur Geraden \( y = -2x + 3 \) aufweist?

\[
\text{A)} \frac{3}{4}   \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } \frac{5}{4} \quad
\text{D) } \frac{3}{2} \quad
\text{E) } \frac{7}{4}
\]

 

Lösung:

 

Es sei A derjenige Punkt auf der Parabel, welcher der Geraden \( y = -2x + 3 \) am nächsten liegt. Die Tangente an die Parabel im Punkt A verläuft parallel zur gegebenen Geraden und besitzt daher dieselbe Steigung (\( m = -2 \)). Die Gleichung dieser Tangente lautet somit \( y = -2x + n \).

Wir setzen die Parabel und diese Tangente gleich:

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= -x^2 – x + 2 \\
y &= -2x + n
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow -x^2 – x + 2 = -2x + n \]
\[ \Rightarrow x^2 – x + n – 2 = 0 \]

Da es sich um eine Tangente handelt, muss eine Doppelwurzel vorliegen (\( \Delta = 0 \)). Die x-Koordinate des Berührpunktes berechnet sich über:

\[
x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2(1)} = \frac{1}{2}
\]

Dies ist die x-Koordinate des gesuchten Punktes A. Um die dazugehörige y-Koordinate zu ermitteln, setzen wir \( x = \frac{1}{2} \) in die Parabelgleichung ein:

\[
y = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 – \frac{1}{2} + 2 = -\frac{1}{4} – \frac{2}{4} + \frac{8}{4} = \frac{5}{4}
\]

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

AUFGABE 18

 

Wenn sich die Parabeln \( y = 2x^2 + 6x + m \) und \( y = x^2 + 2x – m \) berühren, wie groß ist dann die Summe aus dem Parameter \( m \) und der x-Koordinate des Berührpunktes?

\[
\text{A)} -3   \quad
\text{B) } -2 \quad
\text{C) }-1\quad
\text{D) } 0 \quad
\text{E) } 1
\]

 

Lösung:

 

Wir setzen die Gleichungen der beiden Parabeln gleich:

\[
\left.
\begin{aligned}
y &= 2x^2 + 6x + m \\
y &= x^2 + 2x – m
\end{aligned}
\right\}
\Rightarrow 2x^2 + 6x + m = x^2 + 2x – m\]
\[\Rightarrow x^2 + 4x + 2m = 0 \]

Da sich die beiden Parabeln berühren, darf das Schnittstufensystem nur genau eine Lösung besitzen, weshalb die Diskriminante gleich null gesetzt wird (\( \Delta = 0 \)):

\[
\Delta = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2m = 0 \Rightarrow 16 – 8m = 0 \Rightarrow m = 2
\]

Durch Einsetzen von \( m = 2 \) in die obige quadratische Verknüpfung ermitteln wir die x-Koordinate des Berührpunktes:

\[
x^2 + 4x + 2(2) = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 4 = 0 \]
\[\Rightarrow (x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2
\]

Die x-Koordinate des Berührpunktes lautet somit \( -2 \).

Die gesuchte Summe aus der x-Koordinate und \( m \) beträgt:
\[ -2 + 2 = 0 \]

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

AUFGABE 19

 

In der obigen Grafik sind die Parabeln \( f(x) = mx^2 – 8x + 8m + 8 \) und \( g(x) = -x^2 + (3m + 4)x – 5m – 1 \) dargestellt. Welchen x-Wert besitzt der Punkt A?

\[
\text{A)} \frac{11}{2}    \quad
\text{B) } 6 \quad
\text{C) } \frac{13}{2} \quad
\text{D) } 7 \quad
\text{E) } 8
\]

 

Lösung:

 

Die Parabeln schneiden sich auf der Senkrechten \( x = 2 \), woraus folgt, dass \( f(2) = g(2) \) gilt. Wir berechnen die Funktionswerte an der Stelle \( x = 2 \):

\[
\left.
\begin{aligned}
f(2) &= m(2)^2 – 8(2) + 8m + 8 = 12m – 8 \\
g(2) &= -(2)^2 + (3m + 4)(2) – 5m – 1 = m + 3
\end{aligned}
\right \}
\]

Durch Gleichsetzen erhalten wir:
\[ 12m – 8 = m + 3 \Rightarrow 11m = 11 \Rightarrow m = 1 \]

Wir setzen \( m = 1 \) in die Funktionen ein, um die konkreten Parabelgleichungen zu erhalten:

\[\left.
\begin{aligned}
f(x) &= x^2 – 8x + 16 \\
g(x) &= -x^2 + 7x – 6
\end{aligned}
\right \}
\]

Zur Bestimmung aller Schnittpunkte setzen wir \( f(x) = g(x) \):
\[ x^2 – 8x + 16 = -x^2 + 7x – 6 \Rightarrow 2x^2 – 15x + 22 = 0 \]

Die Faktorisierung liefert:
\[ (2x – 11)(x – 2) = 0 \Rightarrow x = 2 \quad \text{ oder } \quad x = \frac{11}{2} \]

Da der Wert \( x = 2 \) den ersten, weiter links liegenden Schnittpunkt markiert, gehört zur x-Koordinate des Punktes A der Wert \( \frac{11}{2} \).

 

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

AUFGABE 20

 

Für variierende Werte von \( m \) sind folgende Funktionen gegeben:

\[
f(x) = (m + 1)x^2 + (m + 2)x – 2m + 1 \]
und
\[ g(x) = mx^2 + 3mx – m^2
\]

Welche Aussage beschreibt das geometrische Verhältnis zwischen den Parabelpaaren \( f(x) \) and \( g(x) \) korrekt?

\[
\begin{aligned}
&\text{A)} \text{Sie schneiden sich in zwei verschiedenen Punkten.}     \quad \\
&\text{B) } \text{Sie berühren sich.}     \quad \\
&\text{C) } \text{Sie schneiden sich in genau einem Punkt.}    \\
&\text{D) } \text{Sie haben keine gemeinsamen Punkte.}  \\
&\text{E) } \text{Sie sind identisch (deckungsgleich).}     \\
&\end{aligned}
\]

 

Lösung:

 

Wir setzen die Gleichungen der Parabeln \( f(x) \) und \( g(x) \) gleich:

\[
(m + 1)x^2 + (m + 2)x – 2m + 1 = mx^2 + 3mx – m^2
\]

Zusammenfassen und Ordnen der Terme führt zu folgender quadratischer Gleichung:
\[ x^2 + (m + 2 – 3m)x + m^2 – 2m + 1 = 0 \]
\[ x^2 + (2 – 2m)x + (m^2 – 2m + 1) = 0 \]

Um die Anzahl der Schnittpunkte zu bestimmen, untersuchen wir die Diskriminante (\( \Delta \)):
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = (2 – 2m)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (m^2 – 2m + 1) \]
\[ \Delta = (4 – 8m + 4m^2) – (4m^2 – 8m + 4) = 0 \]

Da die Diskriminante unabhängig vom Parameter \( m \) stets exakt null ist, besitzt das System immer genau eine reelle Doppelwurzel. Folglich gilt: Die Parabeln berühren sich.

 

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 21

 

Die Schar von Parabeln, die für veränderliche Werte von \( m \) durch die Gleichung
\[
y = x^2 + (2m + 4)x + 2m + 5
\]
gegeben ist, verläuft stets durch einen festen, vom Parameter unabhängigen Punkt. Welche x-Koordinate hat dieser Punkt?

\[
\text{A)} 2   \quad
\text{B) } 1 \quad
\text{C) } 0 \quad
\text{D) } -1 \quad
\text{E) } -2
\]

 

Lösung:

 

Ein effizienter Weg zur Bestimmung dieses festen Punktes besteht darin, zwei beliebige Werte für \( m \) zu wählen und den Schnittpunkt der entsprechenden Parabeln zu berechnen.

\[
y = x^2 + (2m + 4)x + 2m + 5
\]

Wir wählen beispielsweise \( m = 1 \) und \( m = 2 \):
\[
\begin{aligned}
\text{Für } m = 1 &\Rightarrow y = x^2 + 6x + 7 \\
\text{Für } m = 2 &\Rightarrow y = x^2 + 8x + 9
\end{aligned}
\]

Nun setzen wir diese beiden Funktionen gleich, um ihren Schnittpunkt zu finden:
\[
x^2 + 6x + 7 = x^2 + 8x + 9
\]
\[
6x + 7 = 8x + 9 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1
\]

Alternativ lässt sich die Ausgangsgleichung nach dem Parameter \( m \) umstellen: \( y = x^2 + 4x + 5 + m(2x + 2) \). Damit diese Gleichung für jedes beliebige \( m \) erfüllt ist, muss der Klammerterm null sein: \( 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1 \).

 

\(\textbf{Antwort: D} \)

 

 

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