Die Parabel \( x = f(y) = Ay^2 + By + C \)

 

Eine Parabel der Form \( x = Ay^2 + By + C \) wird vollkommen analog zur vertikalen Parabel \( y = ax^2 + bx + c \) untersucht, jedoch mit vertauschten Rollen der Koordinatenachsen (horizontale Ausrichtung).

\[
\text{Y-Koordinate (Ordinate) des Scheitelpunktes: } \frac{-B}{2A}
\]

 

Beispiel:

 

Wir zeichnen die Parabel \( x = f(y) = y^2 – 6y + 5 \).

Die y-Koordinate des Scheitelpunktes lautet:
\[
k = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = 3
\]

und die dazugehörige x-Koordinate beträgt:
\[
h = f(3) = 3^2 – 6 \cdot 3 + 5 = 9 – 18 + 5 = -4
\]
Der Scheitelpunkt liegt folglich bei \( T(-4, 3) \).

Nun bestimmen wir die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:
\[
\text{Für } x = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 – 6y + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1 \quad \text{ oder } \quad y = 5
\]
\[
\text{Für } y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0^2 – 6 \cdot 0 + 5 = 5
\]

Da der führende Koeffizient \( A = 1 > 0 \) positiv ist, ist die Parabel nach rechts geöffnet (in Richtung der positiven x-Achse).

 

Beispiel:

 

Wir zeichnen die Kurve \( y = \sqrt{x + 1} \; – \; 2 \).

Durch Umformen isolieren wir die Parabelstruktur nach x:
\[ y = \sqrt{x + 1} – 2 \Rightarrow (y + 2)^2 = x + 1 \]
\[\Rightarrow x = (y + 2)^2 – 1 \]

Dies entspricht einer horizontalen Parabel mit dem Scheitelpunkt bei \( (-1, -2) \).

Schnittpunkte mit den Achsen:
\[
\text{Für } x = 0 \quad \Rightarrow \quad (y + 2)^2 – 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -1 \quad \text{ oder } \quad y = -3
\]
\[
\text{Für } y = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = \sqrt{x + 1} – 2 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 2 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3
\]

Da die ursprüngliche Funktion über eine positive Quadratwurzel definiert ist, müssen Definitions- und Wertebereich beachtet werden:
\[
x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \quad \text{und} \quad y \geq -2
\]
Die Grafik zeigt daher nur den oberen Ast der horizontalen Parabel.

 

Beispiel:

 

Wir zeichnen die Kurve \( y = -\sqrt{-x} + 1 \).

Durch Umstellen und Quadrieren erhalten wir:
\[ y – 1 = -\sqrt{-x} \Rightarrow (y – 1)^2 = (- \sqrt{-x})^2 \]
\[ \Rightarrow (y – 1)^2 = -x \Rightarrow x = – (y – 1)^2 \]

Der Scheitelpunkt dieser horizontalen Parabel liegt bei \( (0, 1) \). Der x-Achsenabschnitt lautet:
\[
\text{Für } y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -(0 – 1)^2 = -1 \quad \Rightarrow \quad (-1, 0)
\]

Weil der Koeffizient \( A = -1 < 0 \) negativ ist, öffnet sich die Parabel nach links (in Richtung der negativen x-Achse).

Unter Berücksichtigung der Definitionsgrenzen der Wurzelfunktion gilt:
\[
-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0 \quad \text{und} \quad y \leq 1
\]
Die Grafik stellt somit lediglich den unteren Ast dieser horizontalen Parabel dar.

 

AUFGABE 22

In der obigen Abbildung schneidet die Parabel \( x = y^2 – m \) die senkrechte Gerade \( x = 1 \) in den Punkten B und C. Da das Dreieck \(\triangle ABC\) gleichseitig ist, bestimmen Sie den Wert von \( m \).

\[
\text{A)} 4 \sqrt{ 3}   \quad
\text{B) } 2 \sqrt{ 3}  \quad
\text{C) } \sqrt{ 3} \quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 2
\]

 

Lösung:

 

 

Zuerst ermitteln wir den Scheitelpunkt A, indem wir \( y = 0 \) in die Parabelgleichung einsetzen:
\[ x = 0^2 – m = -m \quad \Rightarrow \quad A(-m, 0) \]

Die Schnittpunkte B und C berechnen wir durch Einsetzen von \( x = 1 \):
\[ 1 = y^2 – m \Rightarrow y^2 = 1 + m \Rightarrow y = \pm\sqrt{1 + m} \]
Daraus ergeben sich die Koordinaten:
\[ B(1, -\sqrt{1 + m}) \quad \text{und} \quad C(1, \sqrt{1 + m}) \]

Mithilfe dieser Punkte bestimmen wir die Längen der Basis \( BC \) und der Höhe \( AA‘ \) (wobei \( A‘ \) bei \( (1,0) \) liegt):
\[ |BC| = 2\sqrt{1 + m} \]
\[ |AA’| = 1 – (-m) = 1 + m \]

Da das Dreieck \(\triangle ABC\) gleichseitig ist, gilt für die Höhe die Formel \( \text{Höhe} = \displaystyle\frac{\text{Basis} \cdot \sqrt{3}}{2} \):
\[ |AA’| = \frac{|BC| \cdot \sqrt{3}}{2} \]
\[ \Rightarrow 1 + m = \frac{2\sqrt{1 + m} \cdot \sqrt{3}}{2} \]
\[ \Rightarrow 1 + m = \sqrt{3}\sqrt{1 + m} \]

Durch Quadrieren beider Seiten erhalten wir:
\[ (1 + m)^2 = 3(1 + m) \]
\[ \Rightarrow (1 + m)^2 – 3(1 + m) = 0 \]
\[ \Rightarrow (1 + m)(m – 2) = 0 \]

Dies liefert die algebraischen Lösungen \( m = -1 \) oder \( m = 2 \). Da der Zeichnung zu entnehmen ist, dass der Punkt A im negativen Bereich der x-Achse liegt, muss \( -m \) negativ und somit \( m > 0 \) sein. Folglich ist \( m = 2 \).

 

\(\textbf{Antwort: E} \)

 

AUFGABE 23

 

Die Gerade \( y = x + b \) und die horizontale Parabel \( x = y^2 + 2y + a \) schneiden sich in den Punkten A und B. Wie groß ist die Summe der y-Koordinaten (Ordinaten) dieser beiden Schnittpunkte?

\[
\text{A)} -3   \quad
\text{B) } -2\quad
\text{C) } -1\quad
\text{D) } 0 \quad
\text{E) } 1
\]

 

Lösung:

 

Um die Schnittpunkte zu berechnen, lösen wir das Gleichungssystem simultan. Dazu stellen wir die Geradengleichung nach x um (\( x = y – b \)) und setzen sie in die Parabelgleichung ein:

\[
\left.
\begin{aligned}
x &= y – b \\
x &= y^2 + 2y + a
\end{aligned}
\right \}
\Rightarrow y – b = y^2 + 2y + a
\]

Durch Umstellen aller Terme auf eine Seite ergibt sich die normierte quadratische Gleichung in Abhängigkeit von \( y \):
\[ y^2 + y + a + b = 0 \]

Die Lösungen \( y_1 \) und \( y_2 \) dieser Gleichung entsprechen exakt den y-Koordinaten der gesuchten Schnittpunkte A und B. Nach dem Satz von Vieta ist die Summe der Wurzeln gegeben durch \( -\frac{B}{A} \):
\[ y_1 + y_2 = -\frac{1}{1} = -1 \]

 

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

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