Der Sinussatz

 

Der Sinussatz

 

In der nebenstehenden Abbildung ist der Durchmesser des Umkreises des Dreiecks \(ABC\) gegeben durch \(|BD| = 2R\). Es gilt \( m(\hat{ BAC}) = m(\hat{ BDC}) \) (Umfangswinkel über demselben Bogen).

Im rechtwinkligen Dreieck BCD gilt:

\[
\sin D = \frac{|BC|}{|BD|} \Rightarrow \sin A = \frac{a}{2R}
\]

 

 

\[
\Rightarrow \frac{a}{\sin A} = 2R
\]

Daraus ergibt sich die allgemeine Formulierung:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]

Diese Beziehung wird als Sinussatz bezeichnet.

 

Folgerung:

 

In jedem Dreieck verhalten sich die Längen der Seiten wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel. Dieses Verhältnis entspricht dem Durchmesser des Umkreises des Dreiecks.

 

Beispiel:

 

 

 

In der nebenstehenden Abbildung beträgt der Radius des Kreises mit dem Mittelpunkt \( O \) genau \( R = 4 \, \text{cm} \). Gegeben ist \( |AB| = 4 \, \text{cm} \). Wir bestimmen das Maß des spitzen Winkels \( C \) in Grad.

 

 

 

Durch Anwendung des Sinussatzes im Dreieck ABC erhalten wir:
\[ \frac{|AB|}{\sin C} = 2R \Rightarrow \frac{4}{\sin C} = 8 \]
\[ \Rightarrow \sin C = \frac{1}{2} \Rightarrow \text{m}(\hat C) = 30^\circ \]

 

Beispiel:

 

Wir bestimmen die Seitenlänge \( |AB| = x \) anhand der gegebenen Abbildung, wenn \( \cos \alpha = \frac{3}{4} \) ist.

Durch Anwendung des Sinussatzes im Dreieck ABC erhalten wir:

\[\begin{aligned} &\frac{x}{\sin \alpha} = \frac{3}{\sin 2\alpha} \\ \\ & \Rightarrow \frac{x}{\sin \alpha} = \frac{3}{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha} \\ \\
&\Rightarrow x = \frac{3}{2 \cos \alpha} = \frac{3}{2 \cdot \frac{3}{4}} = 2 \end{aligned}\]

 

 

 

AUFGABE 43

 

 

Im nebenstehenden Dreieck ABC gilt:
\( \text{m}(\hat {BAD}) = \alpha \),
\( \text{m}(\hat {DAC}) = 2\alpha \) und
\( |DC| = 3|BD| \).

 

\[ \text{Welchen Wert hat das Verhältnis } \frac{|AB|}{|AC|}? \]

\[\text{A) } \frac{1}{3} \cos \alpha \quad
\text{B) } \frac{1}{2} \cos \alpha \quad
\text{C) } \frac{2}{3} \cos \alpha \quad
\text{D) } \cos \alpha \quad
\text{E) } 2\cos \alpha
\]

 

Lösung:

 

Wir wählen \( |BD| = 1 \) Längeneinheit.
Daraus folgt \( |DC| = 3 \) Längeneinheiten.
Setzen wir \( \text{m}(\hat {BDA}) = \theta \),
so gilt \( \text{m}(\hat {ADC}) = 180^\circ – \theta \).

Wir stellen den Sinussatz für die Dreiecke ABD und ADC auf und dividieren die Gleichungen komponentenweise.

 

\[
\frac{|AB|}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \alpha}
\]

\[
\frac{|AC|}{\sin (180^\circ – \theta)} = \frac{3}{\sin 2\alpha}
\]

Da \(\sin(180^\circ – \theta) = \sin \theta\) ist, erhalten wir durch Division:
\[
\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{\sin 2\alpha}{3 \sin \alpha} = \frac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{3 \sin \alpha} = \frac{2}{3} \cos \alpha
\]

 

\(\textbf{Antwort: C} \)

 

AUFGABE 44

 

 

In der nebenstehenden Abbildung gilt:
\( |AB| = 2 \, \text{cm}, \)
\( |AC| = 3 \, \text{cm}, \)
\( |BC| = \sqrt{7} \, \text{cm} \).
Wie groß ist der Umkreisradius des Dreiecks ABC in cm?

 

 

 

\[
\text{A)} \frac{\sqrt{21}}{2} \quad
\text{B)} \frac{\sqrt{21}}{3} \quad
\text{C)} \frac{\sqrt{10}}{2} \quad
\text{D)} \frac{\sqrt{10}}{3} \quad
\text{E)} 1
\]

 

Lösung:

 

Zuerst wenden wir den Kosinussatz im Dreieck ABC an, um \(\cos A\) zu bestimmen:

\[ (\sqrt{7})^2 = 2^2 + 3^2 \;- \; 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos A \Rightarrow \cos A = \frac{1}{2} \]
\[ \Rightarrow A = 60^\circ \]

Nun nutzen wir den Sinussatz im Dreieck ABC. Ist \(R\) der Radius des Umkreises, gilt:

\[
\frac{\sqrt{7}}{\sin A} = 2R \Rightarrow \frac{\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = 2R
\]

\[
\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \Rightarrow R = \frac{\sqrt{21}}{3} \text{ cm.}
\]

 

\(\textbf{Antwort: B} \)

 

AUFGABE 45

 

 

In der nebenstehenden Abbildung gilt:

\( \text{m}(\hat B) = 40^\circ, \quad \text{m}(\hat C) = 20^\circ \) sowie \[|AB| = c, \quad |AC| = b, \quad |BC| = 3 \text{ Längeneinheiten.} \]

Welcher der folgenden Ausdrücke entspricht \(b + c \) ?

 

\[
\text{A) } 2\sqrt{3} (\sin 40^\circ + \sin 20^\circ) \quad
\text{B) } 4 \sin 10^\circ \quad
\text{C) } 5 \cos 10^\circ \quad
\text{D) } 6 \cos 10^\circ \quad
\text{E) } 6 \sin 10^\circ
\]

 

Lösung:

 

Aus der Innenwinkelsumme ergibt sich \( m(\hat A) = 120^\circ \).

Durch Anwendung des Sinussatzes im Dreieck ABC erhalten wir:

\[
\frac{3}{\sin 120^\circ} = \frac{b}{\sin 40^\circ} = \frac{c}{\sin 20^\circ}
\]

Mithilfe der Eigenschaften von Verhältnisgleichungen folgt:

\[\begin{aligned}\Rightarrow \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{b + c}{\sin 40^\circ + \sin 20^\circ} \\ \\
\Rightarrow b + c = 2\sqrt{3} (\sin 40^\circ + \sin 20^\circ) \end{aligned}\]

 

\(\textbf{Antwort: A} \)

 

 

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