Spezielle Gleichungen
Wenn in einem Gleichungssystem die Anzahl der Variablen größer ist als die Anzahl der Gleichungen, werden Lösungen in der Regel unter besonderen Bedingungen und Einschränkungen gesucht.
Beispiel:
\[\begin{aligned} a +2b + 3c = 14 \\ 4a + 3b + 2c = 16 \end{aligned}\]
Bestimmen wir den Wert der Summe \( a + b + c \) in diesem Gleichungssystem.
Wenn die Gleichungen komponentenweise addiert werden:
\[\begin{aligned} a +2b + 3c &= 14 \\ + \quad 4a + 3b + 2c &= 16 \\ \hline \\ 5a + 5b + 5c & = 30 \end{aligned}\]
\[ 5(a+b +c) = 30 \Rightarrow a+ b+ c = 6 \] wird als Ergebnis ermittelt.
Aufgabe 22
\[
\begin{aligned}
a- b &=22 \\
b+ c &= 10 \\
c-d&= 8
\end{aligned}
\]
Wie groß ist dann der Wert des Ausdrucks \( a-2b-2c+ d \) ?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Wenn beide Seiten der zweiten und dritten Gleichung mit \(-1 \) multipliziert werden und die drei Gleichungen komponentenweise addiert werden:
\[
\begin{aligned}
a- b &=22 \\
-b- c &=- 10 \\
+ \quad -c+ d&= -8\\
\hline
a-2b-2c+d &= 4
\end{aligned}
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 23
\[
\begin{aligned}
2a+ b + c =&12 \\
a- b + c= &4 \\
\end{aligned}
\]
Wie groß ist dann der Wert des Ausdrucks \( \displaystyle\frac{3a+ 2c }{a+ 2b} \) ?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Wenn die Gleichungen komponentenweise addiert und auch komponentenweise voneinander subtrahiert werden:
\[
\begin{aligned}
2a+ b + c =&12 \\
+\quad a- b + c= &4 \\ \hline \\ 3a+2c = &16
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
2a+ b + c =&12 \\
-\quad a- b + c= &4 \\ \hline \\ a+2b = &8
\end{aligned}
\]
werden gefunden. Demnach gilt:
\[ \frac{3a+2c}{a+2b} = \frac{16}{8} = 2 \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 24
\[
\begin{aligned}
a+ b =&9 \\
b + c= &8 \\ a^2-c^2 = &7
\end{aligned}
\]
Wie groß ist dann die Summe \( a+ b+ c \) ?
\[
\text{A)} 8 \quad
\text{B) } 9 \quad
\text{C) } 10 \quad
\text{D) } 11 \quad
\text{E) } 12
\]
Lösung:
\[ a^2-c^2 = 7 \Rightarrow (a-c ) \cdot (a+c) = 7 \]
\[
\begin{aligned}
a+ b =&9 \\
– \quad b + c= &8 \\ \hline \\ a-c = 1
\end{aligned}
\]
\[ (a-c ) \cdot (a+c) = 7 \Rightarrow 1 \cdot (a+ c ) = 7 \Rightarrow a + c = 7 \] wird gefunden. Folglich gilt:
\[
\begin{aligned}
a+ b =&9 \\
b + c= &8 \\ \ + \quad a+ c = & 7 \\ \hline \\ 2a+ 2b+ 2c= &24
\end{aligned}
\]
\[ 2a+ 2b+ 2c= 24 \Rightarrow 2(a+b+c) = 24 \]
\[ \Rightarrow a+ b+c = 12\]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 25
\[
\begin{aligned}
2x-3y+ z =&-1 \\
x-2y+3z =& \;\;\;\; 6 \\
2y-x-2z = &-3
\end{aligned}
\]
Wie groß ist dann die Differenz \( x-y \) ?
\[
\text{A)} -1 \quad
\text{B) } 0 \quad
\text{C) } 1 \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } 3
\]
Lösung:
Wenn wir beide Seiten der dritten Gleichung mit 2 multiplizieren und die Gleichungen komponentenweise addieren:
\[
\begin{aligned}
2x-3y+ z =&-1 \\
x-2y+3z = &\;\; \;\;6 \\
+ \quad 4y-2x-4z =& -6\\
\hline\\
x-y= -1
\end{aligned}
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 26
\[
\begin{aligned}
\frac{a}{bc} = &\;2 \\
\frac{b}{ac} =& \;6 \\
\frac{c}{ab} = &\;5
\end{aligned}
\]
Wie groß ist dann der Wert des Produkts \( a \cdot b \cdot c \) ?
\[
\text{A)} \frac{1}{25} \quad
\text{B) } 25 \quad
\text{C) } \frac{1}{30} \quad
\text{D) } 30 \quad
\text{E) } \frac{1}{40}
\]
Lösung:
Multiplizieren wir die drei Gleichungen komponentenweise miteinander.
\[ \frac{a}{bc} \cdot \frac{b}{ac} \cdot \frac{c}{ab} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \]
\[ \frac{a\;b\;c}{a^2\; b^2\; c^2 } =30 \]
\[ \Rightarrow abc = \frac{1}{30} \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 27
Die Gleichung \( (x-y-5)a + (x+y-3)b=0 \) wird für jeden reellen Wert von a und b erfüllt. Wie groß ist demnach x ?
\[
\text{A)} 1 \quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C) } 3 \quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Wenn die gegebene Gleichung für jeden reellen Wert von \(a \) und \(b \) erfüllt ist, müssen die Ausdrücke, die mit \(a \) und \(b \) multipliziert werden, gleich Null sein.
\[
\begin{aligned}
x-y-5= &\;0 \\
+ \quad x+y-3 =& \;\;0 \\
\hline \\
2x-8=&0
\end{aligned}
\]
\[ 2x-8=0 \Rightarrow x= 4\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 28
Wenn \[ (x+y-2)^2 + (4x^2-4x+1)^3=0 \] gilt, wie groß ist dann \(y\) ?
\[
\text{A)} 4 \quad
\text{B) } 3 \quad
\text{C) } \frac{5}{2} \quad
\text{D) } 2 \quad
\text{E) } \frac{3}{2}
\]
Lösung:
\[ (x+y-2)^2 + (4x^2-4x+1)^3=0 \]
\[ \Rightarrow (x + y – 2)^2 + \left[(2x – 1)^2\right]^3 = 0 \]
\[ \Rightarrow (x+y-2)^2 + (2x-1)^6=0 \]
Da in dieser Gleichung
\[ \Rightarrow (x + y – 2)^2 \ge 0 \quad \text{und} \quad (2x – 1)^6 \ge 0 \]
gilt, müssen beide Ausdrücke gleich Null sein, damit ihre Summe \(0\) ergibt:
\[(x + y – 2)^2 =0 \quad \text{und} \quad (2x – 1)^6 = 0 .\] Daraus folgt:
\[ x+y-2= 0 \quad \text{und} \quad 2x-1=0 \]
\[y= 2-x \quad \text{und} \quad x= \frac{1}{2} \]
\[\Rightarrow y= 2 – \frac{1}{2} \]
\[\Rightarrow y= \frac{3}{2} \]
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 29
Unter der Bedingung \( a, b, c \in Z^+ \):
\[\begin{aligned}a + 2b-c = &13 \\ a-b+2c =&7 \end{aligned}\] Wie groß ist der maximale Wert von a ?
\[
\text{A)} 6 \quad
\text{B) } 7 \quad
\text{C) } 8 \quad
\text{D) } 9 \quad
\text{E) } 10
\]
Lösung:
Um die Analyse zu erleichtern, reduzieren wir die Anzahl der Variablen im Gleichungssystem von drei auf zwei. Dazu multiplizieren wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 und addieren die Gleichungen komponentenweise.
\[\begin{aligned}
a + 2b-c = &13 \\
+ \quad 2a-2b+4c = &14 \\
\hline
3a+3c = 27
\end{aligned}\]
\[ 3a+3c = 27 \Rightarrow 3(a+ c )= 27 \]
\[\Rightarrow a+c =9 \]
Damit a seinen maximalen Wert annimmt, muss c seinen minimalen Wert annehmen. Da \(a, b \) und \(c \) positive ganze Zahlen sind, ergibt sich für \(c = 1 \) der Wert \(a = 8 \). Setzt man diese Werte in eine der beiden Gleichungen ein, erhält man \(b = 3 \).
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 30
Wenn \(x, y \) und \(z \) voneinander verschiedene positive ganze Zahlen sind, wie groß ist dann der maximale Wert von \( y \), der die Gleichung \(2x + 3y + 4z = 45 \) erfüllt ?
\[
\text{A)} 5 \quad
\text{B) } 7 \quad
\text{C) } 9 \quad
\text{D) } 11 \quad
\text{E) } 13
\]
Lösung:
In der Gleichung \(2x + 3y + 4z = 45 \) muss die Summe \(2x+ 4z \) ihren minimalen Wert annehmen, damit y maximal wird. Da der Koeffizient von \( z \) größer ist als der Koeffizient von \( x \), sollte \( z \) so klein wie möglich gewählt werden. In diesem Fall gilt:
Wenn \( x= 4 , z = 1 \) gewählt werden, folgt: \[ 2x+3y+4z=45 \Rightarrow 8+3y+4=45\]
\[ \Rightarrow y = 11 \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 31
\(x, y \) und \(z \) sind positive ganze Zahlen.
\[x^2 \;+\; y^2 \;- \;z^2 \;+ \; 2xy = 100 \] Wie groß ist demnach der Wert von \(z \) ?
\[
\text{A)} 24 \quad
\text{B) } 22 \quad
\text{C) } 20 \quad
\text{D) } 18 \quad
\text{E) } 16
\]
Lösung:
\[ x^2 \;+ \;y^2 \;- \;z^2 \;+ \;2xy\; = \; 100 \Rightarrow (x+ y )^2 \;- \; z^2 =100\] Durch Anwendung der dritten binomischen Formel (Differenz zweier Quadrate):
\[\Rightarrow (x+y-z) \cdot (x+y+z) =100 \]
Da die Faktoren \(x+y- z \) und \( x+y+z \) positive ganze Zahlen sind und \( x+y- z < x+y+z \) gilt, kommen folgende Paare in Betracht:
\[ x+y- z =1, \quad x+y+z =100 \quad \text{oder} \]
\[ x+y- z =2, \quad x+y+z =50 \quad \text{oder} \]
\[ x+y- z =4, \quad x+y+z =25 \quad \text{oder} \]
\[ x+y- z =5, \quad x+y+z =20 \quad \quad\quad \]
Wenn man jedoch diese Gleichungspaare voneinander subtrahiert, um \(z \) zu bestimmen, zeigt sich nur beim zweiten Paar ein ganzzahliger positiver Wert für z. Demnach gilt:
\[\begin{aligned} x+ y+ z = &50 \\ – \quad x+y -z = &2 \\ \hline \\ 2z= 48 \Rightarrow z = 24 \end{aligned}\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
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