Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln
Wenn man in der Additionstheorem-Formel $\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \sin b \cdot \cos a$ die Variable $b$ durch $a$ ersetzt, erhält man:
\[
1) \quad \sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]
Wenn man in der Formel $\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b$ das $b$ durch $a$ ersetzt, ergibt sich:
\[
2) \quad \cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a
\]
Da nach dem trigonometrischen Pythagoras $\cos^2 a = 1 – \sin^2 a$ und $\sin^2 a = 1 – \cos^2 a$ gilt, lässt sich dies umformen zu:
\[
\cos 2a = 1 – 2 \sin^2 a
\]
oder
\[\cos 2a = 2 \cos^2 a – 1 \]
Hieraus lassen sich die Formeln zur Quadratsenkung herleiten:
\[
\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}
\]
\[ \cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} \]
Substituiert man analog $b$ durch $a$ in der Additionsformel des Tangens:
\[
\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}
\]
so erhält man:
\[
3) \quad \tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 – \tan^2 a}
\]
Ebenso führt die Ersetzung in der Kotangens-Formel:
\[
\cot (a + b) = \frac{\cot a \cot b – 1}{\cot a + \cot b}
\]
zu folgendem Ergebnis:
\[
4) \quad \cot 2a = \frac{\cot^2 a \; – \; 1}{2 \cot a}
\]
Der Tangens lässt sich auch über den Halbwinkel ausdrücken:
\[
\tan x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 – \tan^2(x/2)}
\]
Setzt man in dieser Formel $\tan \frac{x}{2} = u$, lässt sich dies mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks veranschaulichen:
\[ \tan x = \frac{2u}{1- u^2} \]
\[\sin x = \frac{2u}{1+ u^2} \]
Daraus ergeben sich die folgenden parametrischen Identitäten:
\[ \sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \quad \text{und } \quad \cos x = \frac{1- \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} \]
Zusammenfassend lassen sich diese zentralen Beziehungen tabellarisch darstellen:
\[
\begin{array}{| l | }
\hline \\
1) \quad \sin 2a = 2 \sin a \cos a \\ \\
\hline \\
2) \quad \cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a \\ \\
\hline \\
3) \quad \tan 2a = \Large \frac{2 \tan a}{1 – \tan^2 a} \\ \\
\hline \\
4) \quad \cot 2a = \Large \frac{\cot^2 a \; – \; 1}{2 \cot a} \\ \\
\hline
\end{array}
\]
Beispiele:
- $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$
- $\cos 24^\circ = \cos^2 12^\circ – \sin^2 12^\circ = 1 – 2 \sin^2 12^\circ$
- $\tan 4x = \frac{2 \tan 2x}{1 – \tan^2 2x}$
- $\sin \frac{\pi}{4} = 2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8}$
Beispiel:
Berechnen wir die exakten Werte von $\sin 15^\circ$ und $\tan 22,5^\circ$.
Mit der Halbwinkelformel $\sin^2 a = \frac{1 – \cos 2a}{2}$:
\[ \Rightarrow \sin^2 15^\circ = \frac{1 – \cos 30^\circ}{2} \]
\[ \Rightarrow \sin^2 15^\circ = \frac{1 – \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 – \sqrt{3}}{4} \]
\[ \Rightarrow \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \]
Unter Verwendung der Doppelwinkelformel $\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 – \tan^2 a}$:
\[ \Rightarrow \tan 45^\circ = \frac{2 \tan 22,5^\circ}{1 – \tan^2 22,5^\circ} = 1 \]
\[ 1 – \tan^2 22,5^\circ = 2 \tan 22,5^\circ \]
\[ \Rightarrow \tan^2 22,5^\circ + 2 \tan 22,5^\circ – 1 = 0 \]
Wenn man $\tan 22,5^\circ = t$ setzt:
\[ t^2 + 2t – 1 = 0 \]
Die Anwendung der quadratischen Lösungsformel liefert:
\[ \Rightarrow t = \tan 22,5^\circ = \sqrt{2} – 1 \]
Beispiel:
Bestimmen wir den Wert von $\sin 18^\circ$.
Wir konstruieren ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit den Maßen $m(\angle A) = 36^\circ$ und der Basislänge $|BC| = 2$.
Da die Basiswinkel gleich groß sein müssen, gilt $|AB| = |AC| > |BC|$. Wir definieren die Schenkellänge als $|AB| = |AC| = x + 2$ Längeneinheiten.
Wird nun die Winkelhalbierende $[DC]$ des Winkels $C$ gezeichnet,
so gilt $m(\angle CDB) = 72^\circ$. Dadurch entstehen die gleichschenkligen Teildreiecke $BCD$ und $ADC$, weshalb $|BC| = |DC| = 2$ und $|AD| = |CD| = 2$ sowie $|BD| = x$ folgen.
Aufgrund der Ähnlichkeit $\triangle CAB \sim \triangle BCD$ (Winkel-Winkel-Satz) gilt:
\[ \frac{|CB|}{|BD|} = \frac{|CA|}{|BC|} \]
\[ \frac{2}{x} = \frac{x+2}{2} \]
\[ \Rightarrow x^2 + 2x – 4 = 0 \Rightarrow x = \sqrt{5} – 1 \]
Aus dem rechtwinkligen Teildreieck $AHC$ (nach Einzeichnen der Höhe) folgt:
\[ \cos(\angle ACB) = \frac{|HC|}{|AC|} \Rightarrow \cos 72^\circ = \frac{1}{\sqrt{5} – 1 + 2} \]
Unter Verwendung der Komplementärbeziehung ergibt sich:
\[ \cos 72^\circ = \sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} – 1}{4} \]
AUFGABE 17
Welchen Wert hat der folgende Ausdruck?
\[ \frac{\sin 33^\circ}{\sin 11^\circ} \; – \; \frac{\cos 33^\circ}{\cos 11^\circ} \]
\[ \text{A) } 3 \quad \text{B) } 2 \quad \text{C) } 1 \quad \text{D) } -1 \quad \text{E) } -2 \]
Lösung:
Zuerst machen wir die Nenner der beiden Brüche gleichnamig:
\[ \frac{\sin 33^\circ}{\sin 11^\circ}\; -\; \frac{\cos 33^\circ}{\cos 11^\circ} = \frac{\sin 33^\circ \cdot \cos 11^\circ\; -\; \sin 11^\circ \cdot \cos 33^\circ}{\sin 11^\circ \cdot \cos 11^\circ} \]
Wir wenden das Theorem für die Sinusdifferenz $\sin(a-b)$ im Zähler an:
\[ = \frac{\sin(33^\circ \;- \;11^\circ)}{\sin 11^\circ \cdot \cos 11^\circ} = \frac{\sin 22^\circ}{\sin 11^\circ \cdot \cos 11^\circ} \]
Durch Umschreiben des Zählers mit der Doppelwinkelformel $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ folgt:
\[ = \frac{2 \sin 11^\circ \cdot \cos 11^\circ}{\sin 11^\circ \cdot \cos 11^\circ} = 2 \]
\( \textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 18
Welchen Wert hat der folgende Ausdruck?
\[ \cos^2 \frac{13\pi}{12} + \sin^2 \frac{5\pi}{12} \]
\[ \text{A) } 1 \quad \text{B) } 2 \;- \;\sqrt{3} \quad \text{C) } 2 + \sqrt{3} \quad \text{D) } \frac{2 – \sqrt{3}}{2} \quad \text{E) } \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]
Lösung:
Wir transformieren die Argumente mithilfe von Symmetrie- und Komplementärbeziehungen:
\[ \cos^2 \frac{13\pi}{12} + \sin^2 \frac{5\pi}{12} = \cos^2 \left( \pi + \frac{\pi}{12} \right) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} \; – \; \frac{\pi}{12} \right) \]
\[ = \left(-\cos \frac{\pi}{12}\right)^2 + \cos^2 \frac{\pi}{12} = 2 \cos^2 \frac{\pi}{12} \]
Nun nutzen wir die Linearisierungsformel $2 \cos^2 a = 1 + \cos 2a$:
\[ = 1 + \cos \frac{2\pi}{12} = 1 + \cos \frac{\pi}{6} \]
\[ = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]
\( \textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 19
Wenn $A = 1 + \tan 2x \cdot \tan 4x$ gilt, welcher der folgenden Ausdrücke entspricht dann $\frac{1}{A}$ ?
\[ \text{A) } \cos 4x \quad \text{B) } \sin 4x \quad \text{C) } \sec 4x \quad \text{D) } \cos 2x \quad \text{E) } \sin 2x \]
Lösung:
Wir drücken die Tangensfunktionen durch Sinus und Kosinus aus:
\[ A = 1 + \tan 2x \cdot \tan 4x = 1 + \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \cdot \frac{\sin 4x}{\cos 4x} \]
Einsetzen der Doppelwinkelidentitäten für $\sin 4x$ und $\cos 4x$ liefert:
\[ = 1 + \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \cdot \frac{2 \sin 2x \cdot \cos 2x}{\cos^2 2x\; – \; \sin^2 2x} \]
\[ = 1 + \frac{2 \sin^2 2x}{\cos^2 2x \; – \; \sin^2 2x} = 1 + \frac{2 \sin^2 2x}{\cos 4x} \]
Durch Gleichnamigmachen der Terme lässt sich der Bruch vereinfachen:
\[ = \frac{\cos^2 2x – \sin^2 2x + 2 \sin^2 2x}{\cos^2 2x \;- \;\sin^2 2x} = \frac{\cos^2 2x + \sin^2 2x}{\cos 4x} \]
\[ = \frac{1}{\cos 4x} \]
Für den Kehrwert gilt folglich:
\[ \frac{1}{A} = \cos 4x \]
\( \textbf{Antwort: A} \)
AUFGABE 20
Unter der Bedingung $\pi < x < 2\pi$ sei $A = \frac{1 – \cos x}{1 + \cos x}$. Welcher Ausdruck ist gleichwertig zu $\sqrt{A}$ ?
\[ \text{A) } -1 \quad \text{B) } \tan \frac{x}{2} \quad \text{C) } – \tan \frac{x}{2} \quad \text{D) } 2 \tan \frac{x}{2} \quad \text{E) } -2 \tan \frac{x}{2} \]
Lösung:
Wir verwenden die Doppelwinkelbeziehungen, um die Konstanten im Bruch zu eliminieren:
\[ A = \frac{1 – \cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 – (1 – 2 \sin^2 \frac{x}{2})}{1 + (-1 + 2 \cos^2 \frac{x}{2})} \]
\[ = \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \tan^2 \frac{x}{2} \]
Beim Ziehen der Quadratwurzel müssen wir den Betrag und das Vorzeichen im Intervall beachten:
\[ \Rightarrow \sqrt{A} = \sqrt{\tan^2 \frac{x}{2}} = \left| \tan \frac{x}{2} \right| \]
Aus $\pi < x < 2\pi$ folgt durch Division $ \frac{\pi}{2} < \frac{x}{2} < \pi$. Da der Halbwinkel im II. Quadranten liegt, ist der Tangenswert dort negativ:
\[ \sqrt{A} = – \tan \frac{x}{2} \]
\( \textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 21
Gegeben ist $\cos 40^\circ = a$. Welcher Ausdruck stellt $\cos 280^\circ$ in Abhängigkeit von $a$ dar?
\[ \text{A) } 1 – a \quad \text{B) } 1 – 2a \quad \text{C) } 1 – a^2 \quad \text{D) } -1 + 2a^2 \quad \text{E) } 1 – 2a^2 \]
Lösung:
Mithilfe der Reduzierung auf den ersten Quadranten vereinfachen wir:
\[ \cos 280^\circ = \cos(270^\circ + 10^\circ) = \sin 10^\circ = \cos 80^\circ \]
Wir wenden die Doppelwinkelformel des Kosinus $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta – 1$ an:
\[ \cos 80^\circ = 2 \cos^2 40^\circ – 1 = 2a^2 – 1 \]
\( \textbf{Antwort: D} \)
AUFGABE 22
Vereinfachen Sie den gegebenen trigonometrischen Term:
\[ 1 \;- \; 2 \sin^2 x + \frac{\sin^2 2x \; – \; 2 \cos^2 x}{\cos^4 x \;- \;\sin^4 x} \]
\[ \text{A) } – \tan 2x \quad \text{B) } \tan 2x \quad \text{C) } – \cot 2x \quad \text{D) } 1 \quad \text{E) } -1 \]
Lösung:
Wir ersetzen $1 – 2\sin^2 x$ durch $\cos 2x$ und faktorisieren den Nenner als Differenz von Quadraten:
\[ = \cos 2x + \frac{\sin^2 2x \;- \; 2 \cos^2 x}{(\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^2 x \; – \; \sin^2 x)} \]
Wegen $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ und $\cos^2 x – \sin^2 x = \cos 2x$ vereinfacht sich der Ausdruck zu:
\[ = \cos 2x + \frac{\sin^2 2x \; – \; 2 \cos^2 x}{\cos 2x} = \frac{\cos^2 2x + \sin^2 2x \; – \; 2 \cos^2 x}{\cos 2x} \]
Durch Nutzung des trigonometrischen Pythagoras im Zähler erhalten wir:
\[ = \frac{1 \;-\; 2 \cos^2 x}{\cos 2x} = \frac{- (2 \cos^2 x – 1)}{\cos 2x} = \frac{-\cos 2x}{\cos 2x} = -1 \]
\( \textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 23
In der nebenstehenden Abbildung berühren die vom Punkt $A$ an den Kreis um $O$ gelegten Tangenten diesen in den Punkten $B$ und $C$.
Wenn $3|OB| = |AB|$ und $m(\angle BAC) = \theta$ gilt, welchen Wert hat $\sin \theta$?
\[ \text{A) } \frac{1}{5} \quad \text{B) } \frac{2}{5} \quad \text{C) } \frac{3}{5} \quad \text{D) } \frac{4}{5} \quad \text{E) } \frac{2}{3} \]
Lösung:
Wir zeichnen die Strecke $[AO]$ ein. Aus Symmetriegründen halbiert diese den Winkel $\angle BAC$, sodass $m(\angle BAO) = m(\angle CAO) = \alpha$ und $\theta = 2\alpha$ gilt. Wir wählen $|OB| = 1$ und erhalten somit $|AB| = 3$.
Nach dem Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $ABO$ ($\angle ABO = 90^\circ$):
\[ |AO| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \]
Aus dem Dreieck $ABO$ lassen sich die Verhältnisse ablesen:
\[ \sin \alpha = \frac{|OB|}{|AO|} = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \text{und} \quad \cos \alpha = \frac{|AB|}{|AO|} = \frac{3}{\sqrt{10}} \]
Wir nutzen die Doppelwinkelformel des Sinus:
\[ \sin \theta = \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
\( \textbf{Antwort: C} \)
AUFGABE 24
Für den Bereich $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ gilt die Gleichung:
\[ \frac{\sin^2 x}{1 + \cos^2 x + \cos 2x} = \frac{4}{3} \]
Welchen Wert besitzt $\tan 2x$?
\[ \text{A)} -\frac{1}{3} \quad \text{B)} -\frac{1}{2} \quad \text{C)} 2 \quad \text{D)} \frac{4}{3} \quad \text{E)} \frac{3}{4} \]
Lösung:
Wir setzen die Identität $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1$ in den Nenner ein:
\[ \Rightarrow \frac{\sin^2 x}{1 + \cos^2 x + (2 \cos^2 x – 1)} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{\sin^2 x}{3 \cos^2 x} = \frac{4}{3} \]
\[ \Rightarrow \tan^2 x = 4 \]
Da sich $x$ im II. Quadranten befindet, muss der Tangenswert negativ sein:
\[ \tan x = -2 \]
Unter Verwendung der Doppelwinkelformel berechnen wir nun $\tan 2x$:
\[ \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 – \tan^2 x} = \frac{2 \cdot (-2)}{1 – (-2)^2} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} \]
\( \textbf{Antwort: D} \)
AUFGABE 25
Unter der Bedingung $\frac{\cos 2x – 3 \sin x + 1}{2 + \sin x} = -\frac{1}{5}$, welchen Wert hat $\cot 2x$?
\[ \text{A) } \frac{24}{7} \quad \text{B) } \frac{7}{24} \quad \text{C) } \frac{4}{3} \quad \text{D) } \frac{3}{4} \quad \text{E) } 1 \]
Lösung:
Wir formen den Zähler mithilfe von $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$ in eine reine Sinusfunktion um:
\[ \Rightarrow \frac{(1 – 2 \sin^2 x) – 3 \sin x + 1}{2 + \sin x} = -\frac{1}{5} \Rightarrow \frac{-2 \sin^2 x – 3 \sin x + 2}{2 + \sin x} = -\frac{1}{5} \]
Faktorisieren des quadratischen Terms im Zähler liefert:
\[ \Rightarrow \frac{-(2 \sin x – 1)(\sin x + 2)}{2 + \sin x} = -\frac{1}{5} \]
Kürzen des gemeinsamen Faktors $(\sin x + 2)$ ergibt:
\[ \Rightarrow 2 \sin x – 1 = \frac{1}{5} \Rightarrow \sin x = \frac{3}{5} \]
Hieraus folgt für den Tangens direkt $\tan x = \frac{3}{4}$. Mittels der Doppelwinkelformel ermitteln wir $\tan 2x$:
\[ \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 – \tan^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 – \left( \frac{3}{4} \right)^2} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{24}{7} \]
Da der Kotangens der Kehrwert des Tangens ist, folgt schlussendlich:
\[ \cot 2x = \frac{7}{24} \]
\( \textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 26
Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck:
\[ \tan \left( \frac{\pi}{4} \;- \; x \right) – \cot \left( x \; – \; \frac{\pi}{4} \right) \]
\[ \text{A) } 1 \quad \text{B) } -1 \quad \text{C) } 2 \quad \text{D) } -2 \sec 2x \quad \text{E) } 2 \sec 2x \]
Lösung:
Wegen der Ungeradheit des Kotangens gilt $-\cot\theta = \cot(-\theta)$. Damit transformieren wir den Term zu:
\[ = \tan \left( \frac{\pi}{4} \;- \; x \right) + \cot \left( \frac{\pi}{4}\; – \; x \right) \]
Nun schreiben wir die Funktionen in Sinus- und Kosinusverhältnisse um:
\[ = \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} – x \right)}{\cos \left( \frac{\pi}{4} – x \right)} + \frac{\cos \left( \frac{\pi}{4} – x \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{4} – x \right)} = \frac{\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} – x \right) + \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} – x \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{4} – x \right) \cos \left( \frac{\pi}{4} – x \right)} \]
Wir nutzen die trigonometrische Identität im Zähler sowie das umgekehrte Doppelwinkeltheorem im Nenner:
\[ = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin \left( \frac{\pi}{2} – 2x \right)} \]
Unter Verwendung der Komplementärbeziehung $\sin(\frac{\pi}{2} – \theta) = \cos\theta$ folgt schlussendlich:
\[ = \frac{2}{\cos 2x} = 2 \sec 2x \]
\( \textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 27
Es gilt $180^\circ < x < 270^\circ$. Wenn $\tan x = \frac{3}{4}$ ist, welchen Wert hat $\sin \frac{x}{2}$ ?
\[ \text{A)} \frac{3}{\sqrt{10}} \quad \text{B)} -\frac{3}{\sqrt{10}} \quad \text{C)} \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \text{D)} -\frac{1}{\sqrt{10}} \quad \text{E)} \frac{3}{4} \]
Lösung:
Wir stellen die Halbwinkelbeziehung für den Tangens auf:
\[ \tan x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 – \tan^2 \frac{x}{2}} \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 – \tan^2 \frac{x}{2}} \]
\[ \Rightarrow 3 – 3 \tan^2 \frac{x}{2} = 8 \tan \frac{x}{2} \Rightarrow 3 \tan^2 \frac{x}{2} + 8 \tan \frac{x}{2} – 3 = 0 \]
Mit der Substitution $t = \tan \frac{x}{2}$ lässt sich die quadratische Gleichung faktorisieren:
\[ 3t^2 + 8t – 3 = 0 \Rightarrow (3t – 1)(t + 3) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3} \quad \text{oder} \quad t = -3 \]
Zur Bestimmung des korrekten Vorzeichens betrachten wir das Halbwinkelintervall: $180^\circ < x < 270^\circ \Rightarrow 90^\circ < \frac{x}{2} < 135^\circ$. Da der Tangens im II. Quadranten negativ ist, wählen wir $\tan \frac{x}{2} = -3$.
Wir skizzieren ein entsprechendes rechtwinkliges Hilfsdreieck mit den Katheten 3 und 1, woraus sich die Hypotenuse $\sqrt{10}$ ergibt:
Aus dieser geometrischen Anordnung lesen wir ab:
\[ \left| \sin \frac{x}{2} \right| = \frac{3}{\sqrt{10}} \]
Da für das Intervall $90^\circ < \frac{x}{2} < 135^\circ$ der Sinus positiv ist, folgt:
\[ \sin \frac{x}{2} = \frac{3}{\sqrt{10}} \]
\[ \textbf{Antwort: A} \]
Hinweis / Geometrische Hilfskonstruktion:
Falls der spitze Winkel $2x$ bekannt ist, lassen sich die trigonometrischen Werte des Halbwinkels $x$ elegant über eine geometrische Erweiterung ermitteln.
Zuerst zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck $ABC$, welches die Werte für den Winkel $2x$ abbildet. Nun verlängert man die Ankathete $[BC]$ über den Punkt $C$ hinaus um die Länge der Hypotenuse, sodass $|CD| = |AC|$ gilt.
Verbindet man den neuen Punkt $D$ mit der Ecke $A$, entsteht das erweiterte Dreieck $\triangle ABD$. Nach dem Außenwinkelsatz beträgt der Innenwinkel $m(\angle D)$ exakt $x$.
AUFGABE 28
Unter der Bedingung $0^\circ < x < 45^\circ$ sei $\cos x = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{13}} + \sin x$. Welchen Wert hat $\cot x$?
\[ \text{A )} 2 \quad \text{B )} 3 \quad \text{C )} 4 \quad \text{D )} 5 \quad \text{E )} 6 \]
Lösung:
Wir isolieren die trigonometrischen Terme und quadrieren beide Seiten der Gleichung:
\[ \cos x – \sin x = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{13}} \Rightarrow (\cos x – \sin x)^2 = \left(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{13}}\right)^2 \]
\[ \cos^2 x + \sin^2 x – 2 \cos x \sin x = \frac{8}{13} \]
Unter Verwendung der Grundidentitäten folgt $1 – \sin 2x = \frac{8}{13}$:
\[ \sin 2x = \frac{5}{13} \]
Mithilfe der oben erklärten geometrischen Dreieckserweiterung konstruieren wir ein Dreieck für $2x$ mit Gegenkathete 5 und Hypotenuse 13. Die erweiterte Ankathete beträgt somit $12 + 13 = 25$ Längeneinheiten:
\[ \cot x = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{25}{5} = 5 \]
\( \textbf{Antwort: D} \)
AUFGABE 29
In einem Dreieck $ABC$ gelte $\tan A = 2$ und $\tan B = \frac{2}{3}$. Welchen Wert besitzt $\tan \frac{C}{2}$ ?
\[ \text{A)} \frac{4}{3} \quad \text{B)} \frac{3}{4} \quad \text{C)} \frac{8}{\sqrt{65}} \quad \text{D)} \frac{\sqrt{65}}{8} \quad \text{E)} \frac{8}{1+\sqrt{65}} \]
Lösung:
Da die Innenwinkelsumme im Dreieck $180^\circ$ beträgt ($A + B + C = 180^\circ$):
\[ \tan(A + B) = \tan(180^\circ – C) = – \tan C \]
Wir wenden das Additionstheorem des Tangens an:
\[ \frac{\tan A + \tan B}{1 – \tan A \tan B} = \frac{2 + \frac{2}{3}}{1 – 2 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{1}{3}} = -8 \]
\[ \Rightarrow -\tan C = -8 \Rightarrow \tan C = 8 \]
Durch Anwendung der geometrischen Halbwinkelkonstruktion ausgehend vom Winkel $C$ erhalten wir:
\[ \tan \frac{C}{2} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{8}{1 + \sqrt{1^2 + 8^2}} = \frac{8}{1 + \sqrt{65}} \]
\( \textbf{Antwort: E} \)
AUFGABE 30
Die Strecke $[CD]$ ist tangential zum Halbkreis mit dem Durchmesser $[AB]$ im Punkt $D$.
Gegeben sind $|AB| = 12\text{ cm}$, $|BC| = 4\text{ cm}$ und $m(\angle BDC) = \alpha$. Berechnen Sie den Wert von $\tan \alpha$.
\[ \text{A)} \; \frac{1}{3} \quad \text{B)}\; \frac{1}{2} \quad \text{C)}\; 2 \quad \text{D)}\; 3 \quad \text{E)}\; 4 \]
Lösung:
Das Einzeichnen des Radius zum Berührpunkt $D$ erzeugt einen rechten Winkel ($[OD] \perp [CD]$).
Aus den Sätzen über Tangenten- und Zentriwinkel folgt für den Mittelpunktswinkel $m(\angle DOB) = 2\alpha$. Der Radius beträgt $6\text{ cm}$, woraus $|OC| = 6 + 4 = 10\text{ cm}$ folgt. Der Satz des Pythagoras liefert für das Dreieck $\triangle ODC$ folglich $|DC| = 8\text{ cm}$.
\[ \tan 2\alpha = \frac{|DC|}{|DO|} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]
Alternativ lässt sich das Verhältnis direkt aus der geometrischen Anordnung im rechtwinkligen Dreieck ablesen:
\[ \tan \alpha = \frac{|AB|}{|BD|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
\( \textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 31
In der obigen Abbildung gilt $[AB] \perp [AC]$, $m(\angle CAD) = \alpha$, $|AB| = |AD|$ und $3|BC| = 5|AC|$. Welchen Wert hat $\sin \alpha$?
\[ \text{A)}\ \frac{7}{25} \quad \text{B)}\ \frac{8}{25} \quad \text{C)}\ \frac{9}{25} \quad \text{D)}\ \frac{2}{5} \quad \text{E)}\ \frac{11}{25} \]
Lösung:
Wir definieren $m(\angle B) = \theta$. Da das Dreieck $\triangle ABD$ gleichschenklig ist ($|AB| = |AD|$), folgt direkt $m(\angle ADB) = \theta$. Über die Außenwinkelbeziehung ergibt sich somit $m(\angle ACB) = \theta + \alpha$.
Im rechtwinkligen Dreieck $\triangle ABC$ führt die Winkelsumme auf die Beziehung $\alpha = 90^\circ – 2\theta$. Wir wählen maßstäblich $|AC| = 3$ und $|BC| = 5$.
Unter Verwendung der Komplementärbeziehung und des Doppelwinkeltheorems für den Kosinus gilt:
\[ \sin \alpha = \sin(90^\circ – 2\theta) = \cos 2\theta \]
Aus dem Dreieck $\triangle ABC$ lesen wir ab, dass $\sin \theta = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{3}{5}$ ist. Einsetzen in die Gleichung liefert:
\[ \sin \alpha = 1 – 2\sin^2 \theta = 1 – 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – \frac{18}{25} = \frac{7}{25} \]
\( \textbf{Antwort: A} \)
AUFGABE 32
In der obigen Abbildung gilt $m(\angle BAC) = 90^\circ$, $m(\angle BAD) = \alpha$, $3|AC| = 4|AB|$ und $|AB| = 3|BD|$. Welchen Wert besitzt $\sin \alpha$?
\[ \text{A)} \ \frac{3}{\sqrt{10}} \quad \text{B)} \ \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \text{C)} \ \frac{1}{\sqrt{5}} \quad \text{D)} \ \frac{1}{3} \quad \text{E)} \ \frac{1}{4} \]
Lösung:
Wir wählen die Länge $|BD| = 1$ Längeneinheit. Daraus folgen $|AB| = 3$ und $|AC| = 4$. Nach dem Satz des Pythagoras beträgt die Gesamtlänge der Hypotenuse $|BC| = 5$.
Somit verbleibt für das Teilstück $|DC| = 5 – 1 = 4$. Dies bedeutet, dass das Dreieck $\triangle ACD$ wegen $|AC| = |DC| = 4$ gleichschenklig ist.
Setzt man nun $m(\angle B) = \theta$, führt die Winkelverfolgung auf $m(\angle C) = 2\alpha$. Aus dem Hauptdreieck erhalten wir:
\[ \tan 2\alpha = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{3}{4} \]
Mithilfe des klassischen geometrischen Halbwinkel-Hilfsdreiecks:
\[ \sin\alpha = \frac{|FE|}{|ED|} = \frac{3}{3 \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \]
\( \textbf{Antwort: B} \)
AUFGABE 33
Berechnen Sie das Ergebnis des folgenden Produkts: $\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ$
\[ \text{A)} \ \frac{1}{2} \quad \text{B)} \ \frac{1}{4} \quad \text{C)} \ \frac{1}{8} \quad \text{D)} \ \frac{1}{16} \quad \text{E)} \ \frac{1}{32} \]
Lösung:
Wir erweitern den Ausdruck kontrolliert mit $2\sin 20^\circ$, um eine Kaskade von Doppelwinkelformeln auszulösen:
\[ = \frac{\sin 20^\circ \cdot \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} \]
\[ = \frac{\frac{1}{2} \cdot \sin 40^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} \]
\[ = \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin 80^\circ \cdot \cos 80^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{\frac{1}{8} \sin 160^\circ}{\sin 20^\circ} \]
Über die Supplementärwinkel-Beziehung $\sin(180^\circ – \theta) = \sin\theta$ lässt sich der Bruch final kürzen:
\[ = \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = \frac{1}{8} \]
\( \textbf{Antwort: C} \)