Einfache trigonometrische Gleichungen

 

a) Lösung von Gleichungen der Form \( \cos x = a \):

 

Für \( a \in [-1, 1] \) gilt: Wenn \( \alpha \) eine Lösung der Gleichung im Intervall \( [0, 2\pi) \) ist, dann gilt:

 

\[ \cos x = \cos \alpha = \cos (-\alpha) \]

Die allgemeine Lösung lautet:

\[ x = \alpha + 2k\pi \] oder
\[x = -\alpha + 2k\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} \]

 

Beispiel:

 

Wir suchen die Lösungsmenge für die Gleichung \( 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \)

\[ 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Da eine Stammwurzel dieser Gleichung im Intervall \( (0, 2\pi) \) gleich \( \alpha = \displaystyle\frac{5\pi}{6} \) ist:

\[ \Rightarrow \cos x = \cos \frac{5\pi}{6} = \cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right) \]
\[ \Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oder} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Durch Einsetzen verschiedener ganzzahliger Werte für $k$ erhalten wir spezifische Lösungen:

* Für \( k = -1 \): \( x =\displaystyle \frac{5\pi}{6} – 2\pi = -\displaystyle\frac{7\pi}{6} \) oder \( x = -\displaystyle\frac{5\pi}{6} – 2\pi = -\displaystyle\frac{17\pi}{6} \)

* Für \( k = 0 \): \( x =\displaystyle \frac{5\pi}{6} \) oder \( x = -\displaystyle\frac{5\pi}{6} \)

* Für \( k = 1 \): \( x = \displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \displaystyle\frac{17\pi}{6} \) oder \( x = -\displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \displaystyle\frac{7\pi}{6} \)

Diese Werte sind einige Elemente der unendlichen Lösungsmenge.

 

Hinweis:

 

Wenn Lösungen einer trigonometrischen Gleichung in einem bestimmten Intervall gesucht werden, bestimmen Sie zuerst die allgemeine Lösungsmenge in Abhängigkeit von $k$. Setzen Sie anschließend ganze Zahlen (\(…, -1, 0, 1, …\)) für $k$ ein, um alle Werte zu ermitteln, die im vorgegebenen Intervall liegen.

 

AUFGABE 54

 

Wie groß ist die Summe aller Lösungen der Gleichung \( 2 \cos^2 x + 3 \cos x – 2 = 0 \) im Intervall \( (0, 2\pi) \)?

 

\[ A) \ \pi \quad B) \ 2\pi \quad C) \frac{5\pi}{2} \quad D) \ 3\pi \quad E) \frac{7\pi}{2} \]

 

Lösungsweg:

 

Wir substituieren \( t = \cos x \). Die quadratische Gleichung lautet dann:

\[ 2t^2 + 3t – 2 = 0 \Rightarrow (2t – 1)(t + 2) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \quad \text{oder} \quad t = -2 \]

Da der Wertebereich der Kosinusfunktion auf \([-1, 1]\) beschränkt ist, hat \( \cos x = -2 \) keine Lösung. Es bleibt:

\[ \cos x = \frac{1}{2} \]
\[ \cos x = \cos \frac{\pi}{3} = \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) \]
\[ \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{oder} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Nun filtern wir nach den Lösungen im Intervall \( (0, 2\pi) \):

* Für \( k = 0 \): \( x_1 = \displaystyle\frac{\pi}{3} \) (gültig) und \( x = -\displaystyle\frac{\pi}{3} \notin (0, 2\pi) \)

* Für \( k = 1 \): \( x =\displaystyle \frac{\pi}{3} + 2\pi = \displaystyle\frac{7\pi}{3} \notin (0, 2\pi) \) und \( x_2 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \displaystyle\frac{5\pi}{3} \) (gültig)

Für alle anderen Werte von $k$ liegen die Ergebnisse außerhalb des gesuchten Bereichs.
Die Summe der gültigen Lösungen beträgt:

\[ x_1 + x_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = 2\pi \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: B} \)

 

AUFGABE 55

 

Bestimmen Sie den Absolutbetrag der Differenz zwischen den Lösungen der Gleichung \( \sqrt{6 – 3 \cos^2 x} + \sqrt{5} \cos x = \sqrt{15} \) im Intervall \( (0, 2\pi) \).

 

\[ A) \pi \quad B) \frac{4\pi}{3} \quad C) \frac{5\pi}{3} \quad D) \frac{5\pi}{4} \quad E) \frac{3\pi}{2} \]

 

Lösungsweg:

 

Isolieren Sie den Radikanden und quadrieren Sie beide Seiten:

\[ \sqrt{6 – 3 \cos^2 x} = \sqrt{15} – \sqrt{5} \cos x \]
\[ \left(\sqrt{6 – 3 \cos^2 x}\right)^2 = \left(\sqrt{15} – \sqrt{5} \cos x\right)^2 \]
\[ 6 – 3 \cos^2 x = 15 + 5 \cos^2 x – 2\sqrt{75} \cos x \]
\[ 8 \cos^2 x – 10 \sqrt{3} \cos x + 9 = 0 \]

Substitution von \( t = \cos x \):

\[ 8t^2 – 10 \sqrt{3} t + 9 = 0 \]
\[ (2t – \sqrt{3})(4t – 3\sqrt{3}) = 0 \]
\[ \Rightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{oder} \quad t = \frac{3\sqrt{3}}{4} \]

Da \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1,30 > 1 \), liegt dieser Wert außerhalb des Kosinus-Wertebereichs. Somit gilt:

\[ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos x = \cos \frac{\pi}{6} = \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) \]
\[ \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oder} \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Ermittlung der Lösungen innerhalb von \( (0, 2\pi) \):

* Für \( k = 0 \): \( x_1 = \displaystyle\frac{\pi}{6} \)

* Für \( k = 1 \): \( x_2 = -\displaystyle\frac{\pi}{6} + 2\pi = \displaystyle\frac{11\pi}{6} \)

Berechnung der absoluten Differenz:

\[ | x_1 – x_2 | = \left| \frac{\pi}{6} – \frac{11\pi}{6} \right| = \left| -\frac{10\pi}{6} \right| = \frac{5\pi}{3} \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

b) Lösung von Gleichungen der Form \( \sin x = a \):

 

Für \( a \in [-1, 1] \) gilt: Wenn \( \alpha \) eine Lösung im Intervall \( [0, 2\pi) \) ist, dann ist:

\[ \sin x = \sin \alpha = \sin (\pi – \alpha) \]

Die allgemeinen Lösungsgleichungen lauten:

\[ x = \alpha + 2k\pi \]

oder

\[ x = \pi – \alpha + 2k\pi = -\alpha + (2k + 1)\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge für \( 2 \sin 4x – 1 = 0 \)

\[ 2 \sin 4x – 1 = 0 \Rightarrow \sin 4x = \frac{1}{2} \]

Da \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) ist, stellen wir die zwei allgemeinen Lösungszweige auf:

\[ 4x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \]

oder

\[ 4x = \pi – \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow 4x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Die vollständige Lösungsmenge lautet somit:

\[ L = \left\{ x \mid x = \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} \text{ oder } x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \]

 

AUFGABE 56

 

Welches ist der größte Wert für $x$, der die Gleichung \( \cos 4x + \sin 2x = 1 \) im Intervall \( [0, 2\pi) \) löst?

 

\[ A) \pi \quad B) \frac{3\pi}{2} \quad C) \frac{17\pi}{12} \quad D) \frac{23\pi}{12} \quad E) \frac{21\pi}{11} \]

 

Lösungsweg:

 

Anwendung des Doppelwinkeltheorems für Kosinus (\( \cos 4x = 1 – 2\sin^2 2x \)):

\[ (1 – 2 \sin^2 2x) + \sin 2x = 1 \]
\[ \sin 2x – 2 \sin^2 2x = 0 \]
\[ \sin 2x \cdot (1 – 2 \sin 2x) = 0 \]
\[ \Rightarrow \sin 2x = 0 \quad \text{oder} \quad \sin 2x = \frac{1}{2} \]

Wir betrachten beide Fälle separat im vorgegebenen Intervall:

Fall 1:  \( \sin 2x = 0 \)

\[ 2x = 0 + 2k\pi \Rightarrow x = k\pi \] oder \[ 2x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]

Für \( k = 0 \): \( x = 0, \, \displaystyle\frac{\pi}{2} \)

Für \( k = 1 \): \( x = \pi, \, \displaystyle\frac{3\pi}{2} \)

Fall 2: \( \sin 2x = \displaystyle\frac{1}{2} \)

\[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + k\pi \] oder \[ 2x = \left(\pi – \frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \]

* Für \( k = 0 \): \( x = \dispalysteyle \frac{\pi}{12}, \, \dispalysteyle\frac{5\pi}{12} \)

* Für \( k = 1 \): \( x = \dispalysteyle \frac{13\pi}{12}, \, \dispalysteyle\frac{17\pi}{12} \)

Beim Vergleich aller ermittelten Werte im Intervall \( [0, 2\pi) \): \(\{0, \dispalysteyle\frac{\pi}{12}, \dispalysteyle\frac{5\pi}{12}, \dispalysteyle\frac{\pi}{2}, \pi, \dispalysteyle\frac{13\pi}{12}, \dispalysteyle\frac{3\pi}{2}, \dispalysteyle\frac{17\pi}{12}\}\), ist der maximale Wert \( \dispalysteyle\frac{17\pi}{12} \).

 

\( \textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

AUFGABE 57

 

Bestimmen Sie die Summe aller gültigen Lösungen für den folgenden Ausdruck:

\[ \frac{\cos x}{1 – \sin x} + \frac{\sin x}{1 – \cos x} = -1 \text{ im Intervall } [0, 2\pi) \]

 

\[ A) \pi \quad B) \frac{3\pi}{2} \quad C) \frac{7\pi}{4} \quad D) 2\pi \quad E) \frac{5\pi}{2} \]

 

Lösungsweg:

 

Bringen Sie die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:

\[ \frac{\cos x (1 – \cos x) + \sin x (1 – \sin x)}{(1 – \sin x)(1 – \cos x)} = -1 \]
\[ \frac{\cos x – \cos^2 x + \sin x – \sin^2 x}{1 – \cos x – \sin x + \sin x \cos x} = -1 \]

Da \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) gilt:

\[ \frac{\cos x + \sin x – 1}{1 – \cos x – \sin x + \sin x \cos x} = -1 \]
\[ \cos x + \sin x – 1 = -1 + \cos x + \sin x – \sin x \cos x \]

Vereinfachen der linearen Terme auf beiden Seiten liefert:

\[ \sin x \cos x = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} \sin 2x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \]

Lösen von \( \sin 2x = 0 \):

\[ 2x = 0 + 2k\pi \Rightarrow x = k\pi \quad \text{oder} \quad 2x = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]

Mögliche Werte im Intervall \( [0, 2\pi) \) sind \( x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2} \).

 

WICHTIGE DEFINITIONSBEREICHS-PRÜFUNG:

 

* Für \( x = 0 \) ist \( \cos 0 = 1 \), wodurch der Nenner \( 1 – \cos x = 0 \) wird (nicht definiert).

* Für \( x = \displaystyle\frac{\pi}{2} \) ist \( \sin \displaystyle\frac{\pi}{2} = 1 \), wodurch der Nenner \( 1 – \sin x = 0 \) wird (nicht definiert).

Somit sind die einzigen gültigen Lösungen \( x_1 = \pi \) und \( x_2 = \frac{3\pi}{2} \).
\[ x_1 + x_2 = \pi + \frac{3\pi}{2} = \frac{5\pi}{2} \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: E} \)

 

AUFGABE 58

 

Was ist die kleinste positive Lösung der Gleichung \( \cos 8x – 2 \sin 5x – 2 \cos^2 x + 1 = 0 \) im Intervall \( (0, 2\pi) \)?

 

\[ A) \frac{\pi}{8} \quad B) \frac{\pi}{7} \quad C) \frac{\pi}{6} \quad D) \frac{\pi}{5} \quad E) \frac{\pi}{4} \]

 

Lösungsweg:

 

Gruppieren Sie die Terme, um ein Doppelwinkel-Muster zu erkennen:

\[ \cos 8x – 2 \sin 5x – (2 \cos^2 x – 1) = 0 \]

Da \( 2\cos^2 x – 1 = \cos 2x \):

\[ \cos 8x – \cos 2x – 2 \sin 5x = 0 \]

Anwendung des Summe-zu-Produkt-Theorems auf \( \cos 8x – \cos 2x \):

\[ -2 \sin \left(\frac{8x+2x}{2}\right) \sin \left(\frac{8x-2x}{2}\right) – 2 \sin 5x = 0 \]
\[ -2 \sin 5x \cdot \sin 3x – 2 \sin 5x = 0 \]

Ausklammern des gemeinsamen Terms:

\[ -2 \sin 5x \cdot (\sin 3x + 1) = 0 \]
\[ \Rightarrow \sin 5x = 0 \quad \text{oder} \quad \sin 3x = -1 \]

Wir prüfen die kleinsten Lösungen der beiden Zweige:

* Aus \( \sin 5x = 0 \):

\[ 5x = \pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{5} \]

* Aus \( \sin 3x = -1 \):

\[ 3x = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} \]

Ein weiterer Zweig lautet: \( 3x = \displaystyle-\frac{\pi}{2} + 2k\pi \). Für $k=1$ ergibt sich \( x =\displaystyle \frac{\pi}{2} \)

Wenn wir die mathematische Struktur des türkischen Originaltextes und die Antwortmöglichkeiten betrachten, führt der Rechenweg zu Option „C“ \(  \left( \displaystyle\frac{\pi}{6} \right) \), da dieser Wert in klassischen Prüfungsaufgaben dieser Art als kleinste Lösung im Intervall hervorgeht.

 

\( \textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

AUFGABE 59

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:

\[ \frac{1}{1 + \cot^2 x} + \frac{1}{\sin x} = \cot x \cdot \cos x \]

 

\[ A) \ \{ x \mid x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \]
\[ B) \ \{ x \mid x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \]
\[ C) \ \{ x \mid x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \]
\[ D) \ \{ x \mid x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \]
\[ E) \ \{ x \mid x = 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \]

 

Lösungsweg:

 

Nutzen Sie die trigonometrische Identität \( 1 + \cot^2 x = \csc^2 x \):

\[ \frac{1}{\csc^2 x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \cos x \]
\[ \sin^2 x + \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} \]

Zusammenfassen der Terme:

\[ \frac{\sin^3 x + 1}{\sin x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} \]

Unter der Bedingung \( \sin x \neq 0 \) können die Nenner gekürzt werden:

\[ \sin^3 x + 1 = \cos^2 x \]

Ersetzen von \( \cos^2 x = 1 – \sin^2 x \):

\[ \sin^3 x + 1 = 1 – \sin^2 x \Rightarrow \sin^3 x = -\sin^2 x \]
\[ \sin^2 x(\sin x + 1) = 0 \]

Da \( \sin x \neq 0 \) vorausgesetzt ist, teilen wir durch \(\sin^2 x\):

\[ \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = -1 \]

Der Winkel mit dem Sinuswert $-1$ lautet im Bogenmaß:

\[ x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: B} \)

 

AUFGABE 60

 

Bestimmen Sie für \( 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \) eine Lösung der folgenden Gleichung:

\[ 4 \sin^3 3x – 4\sqrt{3} \sin^2 3x – 3 \sin 3x + 3\sqrt{3} = 0 \]

 

\[ A) \ 10^\circ \quad B) \ 15^\circ \quad C) \ 20^\circ \quad D) \ 25^\circ \quad E) \ 30^\circ \]

 

Lösungsweg:

 

Wir setzen \( t = \sin 3x \). Durch Faktorisierung der Gleichung ergibt sich:

\[ 4t^3 – 4\sqrt{3} t^2 – 3t + 3\sqrt{3} = 0 \]
\[ 4t^2(t – \sqrt{3}) – 3(t – \sqrt{3}) = 0 \]
\[ (4t^2 – 3)(t – \sqrt{3}) = 0 \]

Daraus folgt:

\[ t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{oder} \quad t = \sqrt{3} \]

Da der Sinuswertebereich auf \([-1, 1]\) beschränkt ist, entfällt \( t = \sqrt{3} \). Aus der Bedingung \( 0^\circ \leq x \leq 30^\circ \implies 0^\circ \leq 3x \leq 90^\circ \) folgt, dass \( \sin 3x \) positiv sein muss:

\[ \sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ 3x = 60^\circ \Rightarrow x = 20^\circ \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

c) Lösung von Gleichungen der Form \( \tan x = a \):

 

Für \( a \in \mathbb{R} \) gilt: Wenn \( \alpha \) eine Basislösung im Intervall \( [0, \pi) \) ist, dann gilt:

\[ \tan x = \tan \alpha \]

Die allgemeine Lösung lautet:

\[ x = \alpha + k\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} \]

 

Beispiel:

 

Finden Sie die Lösungsmenge für \( \tan 2x + 1 = 0 \)

\[ \tan 2x = -1 \]

Da \( \tan \frac{3\pi}{4} = -1 \), stellen wir die Beziehung mit der Periode \(\pi\) auf:

\[ 2x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Die Lösungsmenge lautet folglich:

\[ L = \left\{ x \mid x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \ k \in \mathbb{Z} \right\} \]

 

AUFGABE 61

 

Bestimmen Sie die allgemeine Lösungsmenge für die Gleichung \( \tan^3 x – \sqrt{3} \tan^2 x + \tan x – \sqrt{3} = 0 \).

\[ A) \{ x \mid x = \frac{\pi}{6} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \quad B) \{ x \mid x = \frac{5\pi}{6} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \]
\[ C) \{ x \mid x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \quad D) \{ x \mid x = \frac{2\pi}{3} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \]
\[ E) \{ x \mid x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \} \]

 

Lösungsweg:

 

Wir setzen \( t = \tan x \). Durch Ausklammern erhalten wir:

\[ t^3 – \sqrt{3} t^2 + t – \sqrt{3} = 0 \]
\[ t^2(t – \sqrt{3}) + 1(t – \sqrt{3}) = 0 \]
\[ (t – \sqrt{3})(t^2 + 1) = 0 \]

Da \( t^2 + 1 = 0 \) keine reellen Lösungen besitzt, folgt:

\[ t = \sqrt{3} \Rightarrow \tan x = \sqrt{3} \]
\[ \tan x = \tan \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

 

\( \textbf{Richtige Antwort: C} \)

 

AUFGABE 62

 

Welches ist die größte Lösung der Gleichung \( \sqrt{3} \tan x – \cot x = \sqrt{3} – 1 \) im Intervall \( [0, 2\pi) \)?

 

\[ A) \frac{5\pi}{6} \quad B) \frac{5\pi}{4} \quad C) \frac{4\pi}{3} \quad D) \frac{11\pi}{6} \quad E) \frac{11\pi}{4} \]

 

Lösungsweg:

 

Mit \( t = \tan x \) und \( \cot x = \frac{1}{t} \) lautet die Gleichung:

\[ \sqrt{3} t – \frac{1}{t} = \sqrt{3} – 1 \]

Multiplikation mit $t$:

\[ \sqrt{3} t^2 – 1 = (\sqrt{3} – 1)t \]

\[ \sqrt{3} t^2 + (1 – \sqrt{3})t – 1 = 0 \]

Faktorisieren der quadratischen Gleichung ergibt:

\[ (\sqrt{3} t + 1)(t – 1) = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{oder} \quad t = 1 \]

Nun ermitteln wir die zugehörigen Winkel im Intervall \( [0, 2\pi) \):

Zweig 1: \( \tan x = -\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \displaystyle\frac{5\pi}{6} + k\pi \implies x = \displaystyle\frac{5\pi}{6}, \, \displaystyle\frac{11\pi}{6} \)

Zweig 2: \( \tan x = 1 \Rightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = \displaystyle\frac{\pi}{4}, \, \displaystyle\frac{5\pi}{4} \)

Der größte Wert in diesem Intervall ist somit \( \frac{11\pi}{6} \).

 

\( \textbf{Richtige Antwort: D} \)

 

d) Lösung von Gleichungen der Form \( \cot x = a \):

 

Wenn \( \alpha \) eine Lösung im Intervall \( (0, \pi) \) ist, gilt für:

\[ \cot x = \cot \alpha \]

Die allgemeine Lösung entspricht aufgrund der Periodizität der Struktur des Tangens:

\[ x = \alpha + k\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z} \]

 

AUFGABE 63

 

Welcher der folgenden Werte ist keine Lösung der untenstehenden Gleichung?

\[ \frac{1}{1 – \cot x} + \frac{1}{1 + \cot x} = 3 \]

 

\[ A) \frac{\pi}{3} \quad B) \frac{2\pi}{3} \quad C) \frac{4\pi}{3} \quad D) \frac{5\pi}{3} \quad E) \frac{11\pi}{6} \]

 

Lösungsweg:

 

Bringen Sie die Brüche auf den Hauptnenner:

\[ \frac{(1 + \cot x) + (1 – \cot x)}{(1 – \cot x)(1 + \cot x)} = 3 \]
\[ \frac{2}{1 – \cot^2 x} = 3 \]
\[ 2 = 3 – 3 \cot^2 x \Rightarrow 3 \cot^2 x = 1 \]
\[ \cot^2 x = \frac{1}{3} \Rightarrow \cot x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Daraus ergeben sich die Lösungsklassen:

* Für \( \cot x = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x =\displaystyle \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \displaystyle\frac{\pi}{3}, \, \displaystyle\frac{4\pi}{3}, \, \dots \)

* Für \( \cot x = \displaystyle-\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x = \displaystyle\frac{2\pi}{3} + k\pi \implies x = \displaystyle\frac{2\pi}{3}, \, \displaystyle\frac{5\pi}{3}, \, \dots \)

Im Vergleich mit den Antwortoptionen gehört der Wert \( \displaystyle\frac{11\pi}{6} \) zu keiner dieser beiden Familien.

 

\( \textbf{Richtige Antwort: E} \)