Lineare trigonometrische Gleichungen in Sinus und Kosinus
Für \( a, b, c \in \mathbb{R} \) heißen Gleichungen der Form
\[ \mathbf{a \sin x + b \cos x = c} \]
lineare Gleichungen in \( \sin x \) und \( \cos x \). Zur Lösung dieser Gleichungsform existieren verschiedene algebraische Lösungsverfahren.
Methode 1: Substitution über einen Hilfswinkel
Wir dividieren beide Seiten der Gleichung \( a \sin x + b \cos x = c \) durch $a$:
\[ \sin x + \frac{b}{a} \cos x = \frac{c}{a} \]
Nun setzen wir \( \tan \alpha = \frac{b}{a} \). Einsetzen liefert:
\[ \Rightarrow \sin x + \tan \alpha \cdot \cos x = \frac{c}{a} \]
\[ \Rightarrow \sin x + \frac{sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos x = \frac{c}{a} \]
Multiplikation mit \( \cos \alpha \):
\[ \Rightarrow \sin x \cos \alpha + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a} \cos \alpha \]
Mithilfe des Additionstheorems für den Sinus \( \sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B \) folgt:
\[ \Rightarrow \sin (x + \alpha) = \frac{c}{a} \cos \alpha \]
Aus \( \tan \alpha = \frac{b}{a} \) lässt sich am rechtwinkligen Dreieck ablesen, dass \( \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \). Einsetzen ergibt:
\[ \Rightarrow \sin (x + \alpha) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Damit diese Gleichung eine reelle Lösung besitzt (\( L \neq \emptyset \)), muss der Wert auf der rechten Seite im Wertebereich der Sinusfunktion liegen:
\[ -1 \leq \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \leq 1 \Rightarrow \left| \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| \leq 1 \]
\[ \Rightarrow c^2 \leq a^2 + b^2 \]
Methode 2: Halbwinkelsubstitution (Weierstraß-Substitution)
Unter Verwendung der Halbwinkelbeziehungen ausgedrückt durch \( \tan \left(\frac{x}{2}\right) \):
\[ \cos x = \frac{1 – \tan^2 \left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \quad , \quad \sin x = \frac{2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x}{2}\right)} \]
Wir substituieren \( t = \tan \left(\frac{x}{2}\right) \) und setzen in \( a \sin x + b \cos x = c \) ein:
\[ \Rightarrow a \cdot \frac{2t}{1 + t^2} + b \cdot \frac{1 – t^2}{1 + t^2} = c \]
Multiplikation der gesamten Gleichung mit \( (1 + t^2) \):
\[ \Rightarrow 2at + b (1 – t^2) = c (1 + t^2) \]
Umsortieren führt auf eine quadratische Gleichung in Standardform:
\[ \Rightarrow (b + c) t^2 – 2at – (b – c) = 0 \]
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung für $t$ können anschließend in \( \tan \left(\frac{x}{2}\right) = t \) eingesetzt werden, um die Werte für $x$ zu berechnen.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für die Gleichung \( \sqrt{3} \sin x – 3 \cos x = \sqrt{3} \).
Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch \( \sqrt{3} \):
\[ \Rightarrow \sin x – \sqrt{3} \cos x = 1 \]
Wir ersetzen \( \sqrt{3} \) durch \( \tan \left(\frac{\pi}{3}\right) \):
\[ \Rightarrow \sin x – \tan \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos x = 1 \]
\[ \Rightarrow \sin x – \frac{\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)} \cdot \cos x = 1 \]
Multiplikation mit \( \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \):
\[ \Rightarrow \sin x \cdot \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) – \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos x = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \]
Anwendung des Sinus-Subtraktionstheorems:
\[ \Rightarrow \sin \left(x – \frac{\pi}{3}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \]
Wegen \( \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \):
\[ \Rightarrow \sin \left(x – \frac{\pi}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \]
Dies führt auf zwei Lösungszweige für \( k \in \mathbb{Z} \):
\[ x – \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oder} \quad x – \frac{\pi}{3} = \left(\pi – \frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi \]
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{oder} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \]
Die Lösungsmenge lautet somit:
\[ L = \left\{ x \;\middle|\; x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{oder} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \right\} \]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für die Gleichung \( \sin 2x – \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
Wir machen den impliziten Koeffizienten sichtbar:
\[ \sin 2x – 1 \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Wir substituieren \( 1 = \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \):
\[ \Rightarrow \sin 2x – \tan \left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \Rightarrow \sin 2x – \frac{\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)} \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Multiplikation mit \( \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \):
\[ \sin 2x \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) – \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \]
Anwendung des Sinus-Subtraktionstheorems:
\[ \Rightarrow \sin \left(2x – \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \]
Da \( \frac{1}{2} = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \):
\[ \Rightarrow \sin \left(2x – \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \]
Dies führt auf zwei Lösungszweige für \( k \in \mathbb{Z} \):
\[ 2x – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{oder} \quad 2x – \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
Nach $x$ auflösen:
\[ \Rightarrow x = \frac{5\pi}{24} + k\pi \quad \text{oder} \quad x = \frac{13\pi}{24} + k\pi \]
Die Lösungsmenge lautet somit:
\[ L = \left\{ x \;\middle|\; x = \frac{5\pi}{24} + k\pi \quad \text{oder} \quad x = \frac{13\pi}{24} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \right\} \]
Beispiel:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge für die Gleichung \( 3 \sin x + 4 \cos x = 6 \).
Koeffizienten bestimmen:
\[ a = 3, \ b = 4, \ c = 6 \Rightarrow a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \quad \text{und} \quad c^2 = 6^2 = 36 \]
Prüfung der Existenzbedingung für Lösungen:
\[ c^2 \leq a^2 + b^2 \Rightarrow 36 \leq 25 \quad \text{(Widerspruch)} \]
Da die Bedingung nicht erfüllt ist, besitzt die Gleichung keine reellen Lösungen. Die Lösungsmenge ist die leere Menge (\( \emptyset \)).