Homogene Gleichungen in Abhängigkeit von sin x und cos x

 

Gleichungen, bei denen alle Terme denselben Gesamtexponenten aufweisen, werden als homogene Gleichungen bezeichnet.

 

a) Homogene Gleichungen ersten Grades:

 

Gegeben seien \( a, b \in \mathbb{R} \).

Die Gleichung \( ax + by = 0 \) ist eine homogene Gleichung ersten Grades mit zwei Variablen.

Ersetzt man x durch \( \cos x \) und y durch \( \sin x \), so erhält man eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades der Form:

 

\[ a \cos x + b \sin x = 0 \]

 

Diese Gleichungen lassen sich wie lineare Gleichungssysteme lösen. Alternativ führt die Division beider Seiten durch \( \cos x \) zu folgendem Ergebnis:

 

\[ a \cos x + b \sin x = 0 \]

\[ \Rightarrow a + b \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \quad (\cos x \neq 0) \]

\[ \Rightarrow a + b \tan x = 0 \]

\[ \Rightarrow \tan x = -\displaystyle \frac{a}{b} \]

 

Hieraus lässt sich die Lösungsmenge direkt bestimmen.

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \( 3 \sin 3x \ – \ \sqrt{3} \cos 3x = 0 \).

Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch \( \cos 3x \):

 

\[ 3 \sin 3x \ – \ \sqrt{3} \cos 3x = 0 \]

\[ \Rightarrow 3 \displaystyle \frac{\sin 3x}{\cos 3x} \ – \ \sqrt{3} = 0 \]

\[ \Rightarrow \tan 3x = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \]

\[ \Rightarrow \tan 3x = \tan \displaystyle \frac{\pi}{6} \]

\[ \Rightarrow 3x = \displaystyle \frac{\pi}{6} + k\pi \]

\[ \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3} \]

 

Daraus ergibt sich die Lösungsmenge:

 

\[ L = \left\{ x \mid x = \displaystyle \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}, \ k \in \mathbb{Z} \right\} \]

 

b) Homogene Gleichungen zweiten Grades:

 

Gegeben seien \( a, b, c \in \mathbb{R} \)

Die Gleichung \( ax^2 + bxy + cy^2 = 0 \) stellt eine homogene Gleichung zweiten Grades mit zwei Variablen dar.

Durch Substitution von x durch \( \cos x \) und y durch \( \sin x \) entsteht eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades:

 

\[ a \cos^2 x + b \cos x \cdot \sin x + c \sin^2 x = 0 \]

 

Zur Lösung dieses Gleichungstyps dividiert man beide Seiten durch \( \cos^2 x \):

 

\[ a \cos^2 x + b \cos x \cdot \sin x + c \sin^2 x = 0 \]

\[ \Rightarrow a + b \displaystyle \frac{\sin x}{\cos x} + c \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0 \quad (\cos x \neq 0) \]

\[ \Rightarrow a + b \tan x + c \tan^2 x = 0 \]

 

Als alternativer Lösungsweg können die Doppelwinkel-Identitäten

\( \cos^2 x = \displaystyle \frac{1 + \cos 2x}{2} \),   \( \cos x \cdot \sin x = \displaystyle\frac{\sin 2x}{2} \)   und   \( \sin^2 x = \displaystyle \frac{1 – \cos 2x}{2} \)   eingesetzt werden:

 

\[ a \cos^2 x + b \cos x \cdot \sin x + c \sin^2 x = 0 \]

\[ \Rightarrow a \displaystyle \frac{1 + \cos 2x}{2} + b \frac{\sin 2x}{2} + c \frac{1 – \cos 2x}{2} = 0 \]

\[ \Rightarrow a + a \cos 2x + b \sin 2x + c – c \cos 2x = 0 \]

\[ \Rightarrow (a – c) \cos 2x + b \sin 2x + a + c = 0 \]

 

Dies führt die Gleichung in eine klassische lineare trigonometrische Form über.

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \( \sqrt{3} \sin^2 x \ – \ \sin 2x \ – \ \sqrt{3} \cos^2 x = 0 \)

Zuerst formen wir \( \sin 2x \) mittels des Doppelwinkeltheorems um und dividieren anschließend durch \( \cos^2 x \):

 

\[ \sqrt{3} \sin^2 x \ – \ 2 \sin x \cdot \cos x \ – \ \sqrt{3} \cos^2 x = 0 \]

\[ \Rightarrow \sqrt{3} \displaystyle \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \ – \ 2 \frac{\sin x}{\cos x} – \sqrt{3} = 0 \]

\[ \Rightarrow \sqrt{3} \tan^2 x \ – \ 2 \tan x \ – \ \sqrt{3} = 0 \]

 

Mit der Substitution \( \tan x = t \) folgt:

 

\[ \Rightarrow \sqrt{3} t^2 \ – \ 2t – \sqrt{3} = 0 \]

\[ \Rightarrow (\sqrt{3} t + 1)(t \ – \ \sqrt{3}) = 0 \]

\[ \Rightarrow t = -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{oder} \quad t = \sqrt{3} \]

 

Rücksubstitution von \( \tan x \):

 

\[ \Rightarrow \tan x = -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{oder} \quad \tan x = \sqrt{3} \]

\[ \Rightarrow \tan x = \tan \displaystyle \frac{5\pi}{6} \quad \text{oder} \quad \tan x = \tan \frac{\pi}{3} \]

 

Daraus ergeben sich die allgemeinen Lösungen:

 

\[ x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad \text{oder} \quad x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

 

Die vollständige Lösungsmenge lautet:

 

\[ L = \left\{ x \mid x = \displaystyle \frac{5\pi}{6} + k\pi \quad \text{oder} \quad x = \displaystyle \frac{\pi}{3} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \right\} \]

 

Beispiel:

 

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung \( 4 \sin^2 x \ – \ \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 2 \).

Wir nutzen den trigonometrischen Pythagoras, um die Konstante 2 als \( 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \) zu schreiben und die Gleichung zu homogenisieren:

 

\[ 4 \sin^2 x \ – \ \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 2 \]

\[ \Rightarrow 4 \sin^2 x \ – \ \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x) \]

 

Durch Zusammenfassen der Terme auf einer Seite ergibt sich:

 

\[ \Rightarrow 2 \sin^2 x \ – \ \sin x \cdot \cos x – \cos^2 x = 0 \]

 

Nun dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch \( \cos^2 x \):

 

\[ \Rightarrow 2 \tan^2 x \ – \ \tan x \ – \ 1 = 0 \]

 

Mit der Substitution \( \tan x = t \) erhalten wir:

 

\[ \Rightarrow 2t^2 \ – \ t \ – \ 1 = 0 \]

\[ \Rightarrow (2t + 1)(t \ – \ 1) = 0 \]

\[ \Rightarrow t = -\displaystyle \frac{1}{2} \quad \text{oder} \quad t = 1 \]

\[ \Rightarrow \tan x = -\displaystyle \frac{1}{2} \quad \text{oder} \quad \tan x = 1 \]

 

Es sei \( \alpha \) der Winkel, dessen Tangenswert \( -\displaystyle \frac{1}{2} \) beträgt:

 

\[ \Rightarrow \tan x = \tan \alpha \quad \text{oder} \quad \tan x = \tan \displaystyle \frac{\pi}{4} \]

 

Daraus folgt:

 

\[ x = \alpha + k\pi \quad \text{oder} \quad x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

 

Die Lösungsmenge ist somit:

 

\[ L = \left\{ x \mid x = \alpha + k\pi \quad \text{oder} \quad x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \right\} \]