Periodische Funktionen
Eine Funktion \( f : A \rightarrow B \) mit \( y = f(x) \) heißt periodische Funktion, wenn für alle \( x \in A \) eine reelle Zahl \( T \neq 0 \) existiert, sodass die Bedingung \( \mathbf{f(x + T) = f(x)} \) erfüllt ist. Die Zahl \( T \) wird als Periode der Funktion bezeichnet. Der kleinste positive Wert von \( T \) heißt kleinste herkömmliche Periode (oder fundamentale Periode).
Beispiel:
Die Funktionen \( f \) und \( g \) seien auf den reellen Zahlen periodisch. Es gilt \( f(x) = g(\displaystyle \frac{2x + 1}{3}) \). Bestimmen Sie die Periode von \( f(x) \), wenn die Periode von \( g(x) \) gleich 6 ist.
Es sei \( T \) die gesuchte Periode von \( f(x) \).
\[ f(x + T) = f(x) \Rightarrow g(\displaystyle \frac{2(x + T) + 1}{3}) = g(\frac{2x + 1}{3}) \]
\[ \Rightarrow g(\displaystyle \frac{2x + 1 + 2T}{3}) = g(\frac{2x + 1}{3}) \]
\[ \Rightarrow g(\displaystyle \frac{2x + 1}{3} + \frac{2T}{3}) = g(\frac{2x + 1}{3}) \]
Da die fundamentale Periode von \( g(x) \) bekanntlich 6 beträgt, setzen wir das Argument entsprechend gleich:
\[ \displaystyle \frac{2T}{3} = 6 \Rightarrow T = 9 \]
Beispiel:
Bestimmen Sie die kleinste Periode der Funktion \( f(x) = \cos (\displaystyle \frac{2x – 3}{5}) \).
Es sei \( T \) die Periode von \( f(x) \).
\[ f(x + T) = f(x) \Rightarrow \cos (\displaystyle \frac{2(x + T) – 3}{5}) = \cos (\frac{2x – 3}{5}) \]
\[ \Rightarrow \cos (\displaystyle \frac{2x – 3 + 2T}{5}) = \cos (\frac{2x – 3}{5}) \]
\[ \Rightarrow \cos (\displaystyle \frac{2x – 3}{5} + \frac{2T}{5}) = \cos (\frac{2x – 3}{5}) \]
\[ \Rightarrow \displaystyle \frac{2x – 3}{5} + \frac{2T}{5} = \frac{2x – 3}{5} + 2k\pi \]
\[ \Rightarrow \displaystyle \frac{2T}{5} = 2k\pi \Rightarrow T = 5k\pi \]
Da \( k \in \mathbb{Z} \) gilt, ergibt sich für die kleinste positive Periode mit \( k = 1 \) der Wert \( 5\pi \).
Perioden trigonometrischer Funktionen:
1)
\[ f(x) = p + q \sin^n (ax + b) \]
\[ f(x) = p + q \cos^n (ax + b) \]
\[ f(x) = p + q \sec^n (ax + b) \]
\[ f(x) = p + q \csc^n (ax + b) \]
Für die kleinsten Perioden dieser Funktionen gilt:
\[ \text{Wenn } n \text{ ungerade ist:} \quad \frac{2\pi}{|a|} \]
\[ \text{Wenn } n \text{ gerade ist:} \quad \displaystyle \frac{\pi}{|a|} \]
2)
\[ f(x) = p + q \tan^n (ax + b) \]
\[ f(x) = p + q \cot^n (ax + b) \]
Die fundamentale Periode der Tangens- und Kotangensfunktionen beträgt für jeden ganzzahligen Wert von n stets \( \displaystyle \frac{\pi}{|a|} \).
3) Es sei \( T_1 \) die Periode der trigonometrischen Teilfunktion \( g(x) \) und \( T_2 \) die Periode der Teilfunktion \( h(x) \):
a) Für Summen- oder Differenzfunktionen der Form \( f(x) = g(x) \pm h(x) \) ergibt sich die Gesamtperiode über das kleinste gemeinsame Vielfache: \( T = \text{kgV}(T_1, T_2) \).
b) Für Produktfunktionen der Form \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \) gilt primär \( T = \text{kgV}(T_1, T_2) \). Falls sich die Funktion jedoch mittels der Theoremstrukturen (Produkt-zu-Summe) in die Form \( f(x) = g_1(x) \pm h_1(x) \) mit den jeweiligen Perioden \( t_1 \) und \( t_2 \) transformieren lässt, ist die exakte Fundamentalperiode gegeben durch \( t = \text{kgV}(t_1, t_2) \)
c) Bei rationalen trigonometrischen Ausdrücken der Form \( f(x) = \displaystyle \frac{g(x)}{h(x)} \) lässt sich die Periode über \( T = \text{kgV}(T_1, T_2) \) eingrenzen. Dieser rechnerische Wert muss aufgrund möglicher algebraischer Kürzungen nicht zwingend der kleinsten Periode entsprechen.
Beispiele:
- \( f(x) = 1 \, – \, 2 \sin^5 (3x \, – \, \displaystyle \frac{\pi}{3}) \quad \implies \quad T = \displaystyle \frac{2\pi}{3} \)
- \( f(x) = 3 \sec^4 (\displaystyle \frac{x}{2} + \pi) \quad \implies \quad T = \displaystyle \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \)
- \( f(x) = 5 \tan (\, – \, 2x) \quad \implies \quad T = \displaystyle \frac{\pi}{|\, – \, 2|} = \frac{\pi}{2} \)
- \( f(x) = \cos^2 (\pi \, – \, \displaystyle \frac{2x}{3}) \quad \implies \quad T = \displaystyle \frac{\pi}{|\, – \, \frac{2}{3}|} = \frac{3\pi}{2} \)
- \( f(x) = 3 + \cot^3 (x + \pi) \quad \implies \quad T = \displaystyle \frac{\pi}{1} = \pi \)
AUFGABE 67
Welcher der folgenden Werte entspricht der kleinsten Periode der Funktion \( f(x) = 3 + 2 \tan \displaystyle \frac{x}{2} \, – \, \cot^2 (\, – \, x) + \sin^3 (\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) \)?
\[ A) \ \pi \quad B) \ 2\pi \quad C) \ 4\pi \quad D) \ 6\pi \quad E) \ 8\pi \]
Lösung:
Die Periode von \( 2 \tan \displaystyle \frac{x}{2} \) ist \( T_1 = \displaystyle \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \).
Die Periode von \( \cot^2 (\, – \, x) \) ist \( T_2 = \displaystyle \frac{\pi}{|\, – \, 1|} = \pi \).
Die Periode von \( \sin^3 (\displaystyle \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}) \) ist \( T_3 = \displaystyle \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi \).
Daraus folgt für die gesamte additive Funktion \( f(x) \) über das kleinste gemeinsame Vielfache:
\[ T = \text{kgV}(T_1, T_2, T_3) = \text{kgV}(2\pi, \pi, 6\pi) = 6\pi \]
\( \textbf{Antwort: D} \)
AUFGABE 68
Welcher der folgenden Terme beschreibt die fundamentale Periode von \( f(x) = \cos 5x \cdot \cos 3x \)?
\[ A) \ \pi \quad B) \ \frac{3\pi}{2} \quad C) \ 2\pi \quad D) \ 3\pi \quad E) \ \frac{7\pi}{2} \]
Lösung:
Durch Anwendung der Produkttheoreme transformieren wir den Ausdruck \( f(x) = \cos 5x \cdot \cos 3x \) in eine Summe:
\[ f(x) = \displaystyle \frac{1}{2} (\cos 8x + \cos 2x) \]
Die Periode von \( \cos 8x \) lautet \( T_1 = \displaystyle \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \).
Die Periode von \( \cos 2x \) lautet \( T_2 = \displaystyle \frac{2\pi}{2} = \pi \).
Daraus berechnet sich die fundamentale Periode zu:
\[ T = \text{kgV}(T_1, T_2) = \text{kgV}\left(\frac{\pi}{4}, \pi\right) = \pi \]
\( \textbf{Antwort: A} \)
AUFGABE 69
Bestimmen Sie die reelle Gesamtperiode der folgenden Funktion: \( f(x) = \displaystyle \frac{1 + \tan x}{\cos 2x} + \cot \frac{x}{2} \).
\[ A) \ 2\pi \quad B) \ 3\pi \quad C) \ 5\pi \quad D) \ 7\pi \quad E) \ 9\pi \]
Lösung:
Die Periode des Zähler-Ausdrucks \( 1 + \tan x \) beträgt \( T_1 = \displaystyle \frac{\pi}{1} = \pi \).
Die Periode des Nenners \( \cos 2x \) beträgt \( T_2 = \displaystyle \frac{2\pi}{2} = \pi \).
Die Periode des additiven Terms \( \cot \displaystyle \frac{x}{2} \) beträgt \( T_3 = \displaystyle \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \).
Die resultierende Gesamtperiode von \( f(x) \) bestimmt sich folglich über das kgV der Einzelkomponenten:
\[ T = \text{kgV}(T_1, T_2, T_3) = \text{kgV}(\pi, \pi, 2\pi) = 2\pi \]
\( \textbf{Antwort: A} \)