Graphen trigonometrischer Funktionen
Beim Zeichnen der Graphen trigonometrischer Funktionen geht man wie folgt vor:
- Die primitive Periode (kleinste Periode) der Funktion wird bestimmt.
- Ein für die gefundene Periode passendes Intervall wird gewählt.
- In dem gewählten Intervall wird eine Verlaufstabelle (Wertetabelle zur Analyse des Monotonieverhaltens) erstellt.
- Der Graph der Funktion wird im gewählten Intervall gezeichnet. In den darauffolgenden Intervallen von der Länge der primitiven Periode wiederholt sich der Graph exakt analog.
1. Graph der Kosinusfunktion:
Die primitive Periode der Funktion \( f(x) = \cos x \) beträgt \( 2\pi \). Wir erstellen die Verlaufstabelle im Intervall \( [0, 2\pi] \) und zeichnen den Graphen.
\[
\begin{array}{c |lcr}
x & 0 & \displaystyle \ \;\; \frac{\pi}{2} & \pi & \displaystyle \; \; \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
\cos x & 1 & \searrow \ 0 & \searrow \quad -1 & \nearrow \quad 0 & \nearrow \quad 1
\end{array}
\]
2. Graph der Sinusfunktion:
Die primitive Periode der Funktion \( f(x) = \sin x \) beträgt \( 2\pi \). Wir erstellen die Verlaufstabelle im Intervall \( [0, 2\pi] \) und zeichnen den Graphen.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & 0 & \displaystyle \;\;\;\; \frac{\pi}{2} & \pi & \displaystyle \;\; \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
\sin x & 0 & \nearrow \quad 1 & \searrow \quad 0 & \searrow \quad -1 & \nearrow \quad 0
\end{array}
\]
3. Graph der Tangensfunktion:
Die primitive Periode der Funktion \( f(x) = \tan x \) beträgt \( \pi \).
Da \( f(x) = \tan x \) für \( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \) nicht definiert ist, schneidet der Graph die vertikale Asymptote \( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \) nicht.
Wir erstellen die Verlaufstabelle im Definitionsbereich \( [0, \pi] – \{ \displaystyle \frac{\pi}{2} \} \), um den Graphen zu zeichnen.
\[
\begin{array}{c|ccc}
x & 0 & \; \; \displaystyle \frac{\pi}{4} & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \; \; \pi \\
\hline
\tan x & 0 & \nearrow 1 & \nearrow +\infty || -\infty \nearrow & -1 & \nearrow 0
\end{array}
\]
4. Graph der Kotangensfunktion:
Die primitive Periode der Funktion \( f(x) = \cot x \) beträgt \( \pi \).
Da \( f(x) = \cot x \) an den Stellen \( x = 0 \) und \( x = \pi \) nicht definiert ist, schneidet der Graph die vertikalen Asymptoten \( x = 0 \) und \( x = \pi \) nicht.
Wir erstellen die Verlaufstabelle im Definitionsbereich \( [0, \pi] – \{ 0, \pi \} \), um den Graphen zu zeichnen.
\[
\begin{array}{c|lll}
x & \quad & 0 & \;\; \displaystyle \frac{\pi}{4} & \;\; \displaystyle \frac{\pi}{2} & \;\; \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \;\; & \quad \pi \\
\hline
\cot x & \quad & || +\infty & \searrow 1 & \searrow 0 & \searrow -1 & \searrow -\infty& \quad ||
\end{array}
\]
5. Graph der Sekansfunktion:
Die primitive Periode der Funktion \( \displaystyle f(x) = \sec x = \frac{1}{\cos x} \) beträgt \( 2\pi \).
Da \( f(x) = \sec x \) an den Stellen \( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \) und \( \displaystyle x = \frac{3\pi}{2} \) nicht definiert ist, schneidet der Graph die vertikalen Asymptoten \( \displaystyle x = \frac{\pi}{2} \) und \( \displaystyle x = \frac{3\pi}{2} \) nicht.
Wir erstellen die Verlaufstabelle im Definitionsbereich \( \displaystyle [0, 2\pi] – \{ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \} \), um den Graphen zu zeichnen.
\[
\begin{array}{c|lllll}
x & 0 & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \pi & \quad \quad \;\; \displaystyle \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
\sec x & 1 & \nearrow +\infty || -\infty \nearrow & -1 & \searrow -\infty || +\infty \searrow & 1
\end{array}
\]
6. Graph der Kosekansfunktion:
Die primitive Periode der Funktion \( \displaystyle f(x) = \csc x = \frac{1}{\sin x} \) beträgt \( 2\pi \). Da \( f(x) = \csc x \) für \( x = 0 \), \( x = \pi \) und \( x = 2\pi \) nicht definiert ist, schneidet der Graph die vertikalen Asymptoten \( x = 0 \), \( x = \pi \) und \( x = 2\pi \) nicht.
Wir erstellen die Verlaufstabelle im Definitionsbereich \( [0, 2\pi] – \{ 0, \pi, 2\pi \} \), um den Graphen zu zeichnen.
\[
\begin{array}{c|lllll}
x & 0 & \;\;\;\; \displaystyle \frac{\pi}{2} & \quad \quad \quad \pi & \displaystyle \frac{3\pi}{2} & \quad \quad \quad 2\pi \\
\hline
\csc x & || +\infty & \searrow 1 & \nearrow +\infty || -\infty \nearrow & -1 & \searrow -\infty \; \; ||
\end{array}
\]
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Funktion \( f(x) = 1 + \sin x \).
Die Periode der Funktion \( f(x) = 1 + \sin x \) beträgt \( 2\pi \). Wir erstellen die Verlaufstabelle im Intervall \( [0, 2\pi] \) und zeichnen den Graphen.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & 0 & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \pi & \displaystyle \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
1 + \sin x & 1 & \nearrow \quad 2 & \searrow \quad 1 & \searrow \quad 0 & \nearrow \quad 1
\end{array}
\]
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Funktion \( f(x) = -2 \cos x \).
Die primitive Periode der Funktion \( f(x) = -2 \cos x \) beträgt \( 2\pi \). Wir erstellen die Verlaufstabelle im Intervall \( [0, 2\pi] \) und zeichnen den Graphen.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & 0 & \quad \displaystyle \frac{\pi}{2} & \pi & \displaystyle \frac{3\pi}{2} & 2\pi \\
\hline
-2 \cos x & -2 & \nearrow \quad 0 & \nearrow \quad 2 & \searrow \quad 0 & \searrow \quad -2
\end{array}
\]
Der Graph der Funktion \( y = -\cos x \) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \( y = \cos x \) an der x-Achse.
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Funktion \( \displaystyle f(x) = \tan \frac{x}{2} \).
Die primitive Periode der Funktion \( \displaystyle f(x) = \tan \frac{x}{2} \) beträgt \( 2\pi \).
Da die Funktion \( \displaystyle f(x) = \tan \frac{x}{2} \) für \( x = \pi \) nicht definiert ist, schneidet der Graph die vertikale Asymptote \( x = \pi \) nicht. Wir erstellen die Verlaufstabelle im Definitionsbereich \( [0, 2\pi] – \{ \pi \} \) und zeichnen den Graphen.
\[
\begin{array}{c|lll}
x & 0 & \quad \displaystyle \frac{\pi}{2} & \quad \quad \quad \pi & \displaystyle \frac{3\pi}{2} & \; \; 2\pi \\
\hline
\tan \frac{x}{2} & 0 & \nearrow 1 & \nearrow +\infty || -\infty \nearrow & -1 & \nearrow 0
\end{array}
\]
Der Graph der Funktion \( \displaystyle y = \tan \frac{x}{2} \) entspricht einer horizontalen Streckung der Tangenskurve \( y = \tan x \), gezeichnet über eine Periode von \( 2\pi \).
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Funktion \( \displaystyle f(x) = \sin (x \ – \ \frac{\pi}{4}) \).
Die primitive Periode der Funktion \( \displaystyle f(x) = \sin (x \ – \ \frac{\pi}{4}) \) beträgt \( 2\pi \).
Wir erstellen die Verlaufstabelle im Intervall \( \displaystyle [\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}] \) und zeichnen den Graphen.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \quad \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \; \displaystyle \frac{5\pi}{4} & \; \displaystyle \frac{7\pi}{4} & \; \displaystyle \frac{9\pi}{4} \\
\hline
\sin (x – \frac{\pi}{4}) & 0 & \nearrow \quad 1 & \searrow \quad 0 & \searrow \quad -1 & \nearrow \quad 0
\end{array}
\]
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Funktion \( f(x) = -2 + \cot(-x) \).
Aufgrund der Ungeradheit der Kotangensfunktion gilt \( f(x) = -2 + \cot(-x) = -2 – \cot x \). Die primitive Periode beträgt \( \pi \).
Da \( f(x) = -2 – \cot x \) an den Stellen \( x = 0 \) und \( x = \pi \) nicht definiert ist, schneidet der Graph die Geraden \( x = 0 \) und \( x = \pi \) nicht.
Wir erstellen die Verlaufstabelle im Definitionsbereich \( [0, \pi] – \{ 0, \pi \} \) und zeichnen den Graphen.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & 0 & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \displaystyle \frac{\pi}{2} & \displaystyle \frac{3\pi}{4} & \pi \\
\hline
-2 – \cot x & || -\infty & \nearrow \quad -3 & \nearrow \quad -2 & \nearrow \quad -1 & \nearrow \quad +\infty ||
\end{array}
\]
Der Graph der Funktion \( y = -\cot x \) entsteht durch Spiegelung des Graphen von \( y = \cot x \) an der x-Achse.
Der Graph der Funktion \( y = -2 – \cot x \) entsteht durch eine vertikale Verschiebung des Graphen von \( y = -\cot x \) um 2 Einheiten in negative Richtung der y-Achse.
Beispiel:
Wir zeichnen den Graphen der Funktion \( \displaystyle f(x) = \sin \left( \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{3} \right) \).
Die primitive Periode der Funktion \( \displaystyle f(x) = \sin \left( \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{3} \right) \) beträgt \( 3\pi \).
Wir erstellen die Verlaufstabelle im Intervall \( \displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \) und zeichnen den Graphen.
\[
\begin{array}{c|lcr}
x & \displaystyle -\frac{\pi}{2} & \displaystyle \frac{\pi}{4} & \pi & \displaystyle \frac{7\pi}{4} & \displaystyle \frac{5\pi}{2} \\
\hline
\sin (\frac{2x}{3} + \frac{\pi}{3}) & 0 & \nearrow \quad 1 & \searrow \quad 0 & \searrow \quad -1 & \nearrow \quad 0
\end{array}
\]
Der Graph der Funktion \( \displaystyle y = \sin \left( \frac{2x}{3} + \frac{\pi}{3} \right) \) entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion \( \displaystyle y = \sin \frac{2x}{3} \) in negative Richtung der x-Achse um \( \displaystyle \frac{\pi}{2} \) Einheiten.