Komplexe Zahlen

 

In der Geschichte der Mathematik gab es Situationen, in denen die bestehenden Zahlenbereiche nicht ausreichten, um bestimmte Gleichungstypen zu lösen. In solchen Fällen wurden die vorhandenen Zahlensysteme erweitert, um neue Zahlenbereiche zu erhalten, mit denen diese Gleichungen gelöst werden konnten. Ein Beispiel:

Wenn eine Gleichung wie

\[ x + 7 = 0 \]

im Bereich der natürlichen Zahlen (\(\mathbb{N}\)) nicht lösbar war, wurde dieser Bereich erweitert, um die Menge der ganzen Zahlen (\(\mathbb{Z}\)) zu bilden.

Wenn eine Gleichung wie

\[ 7x + 19 = 0 \]

im Bereich der ganzen Zahlen nicht gelöst werden konnte, wurde diese Menge zu den rationalen Zahlen (\(\mathbb{Q}\)) erweitert.

Wenn eine Gleichung wie

\[ x^2 \ – \ 5 = 0 \]

im Bereich der rationalen Zahlen keine Lösung besaß, wurde das System zu den reellen Zahlen (\(\mathbb{R}\)) erweitert.

Versuchen wir nun, die folgende Gleichung zu lösen:

\[ x^4 + 7 = 0 \]

Daraus folgt:

\[ x^4 = \ – 7 \]

Es gibt keine reelle Zahl, die diese Gleichung erfüllt, da jede reelle Zahl mit einem geraden Exponenten nicht-negativ ist. Folglich besteht die Notwendigkeit, den Bereich der reellen Zahlen zu einem größeren Zahlensystem zu erweitern, in dem auch solche Gleichungen gelöst werden können.

Betrachten wir hierzu die fundamentale Gleichung:

\[ x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = \ – 1 \]
\[ \Rightarrow \sqrt{x^2} = \sqrt{\ – 1} \]
\[ \Rightarrow |x| = \sqrt{\ – 1} \]
\[ \Rightarrow \pm x = \sqrt{\ – 1} \]
\[ \Rightarrow x = \pm \sqrt{\ – 1} \]

Demnach können wir durch Einführung des Elements \(\sqrt{-1}\) den Bereich der reellen Zahlen erweitern und Gleichungen dieser Art lösen. Die Zahl \(\sqrt{-1}\) wird als imaginäre Einheit bezeichnet, symbolisiert durch:

\[ i = \sqrt{\ – 1} \ \Rightarrow \ i^2 = \ – 1 \]

Unter der Bedingung \( a, b \in \mathbb{R} \) und \( i^2 = \ – 1 \) werden Zahlen der Form \( a + bi \) als komplexe Zahlen bezeichnet. Eine komplexe Zahl wird meist mit \( z \) abgekürzt, und die Menge aller komplexen Zahlen wird mit \( \mathbb{C} \) dargestellt.

\[ \mathbb{C} = \{ a + bi : a,b \in \mathbb{R} \text{ und } i^2 = \ – 1 \} \]

Bei der komplexen Zahl \( z = a + bi \) heißt \( a \) der Realteil (geschrieben \( a = \mathrm{Re}(z) \)) und \( b \) der Imaginärteil (geschrieben \( b = \mathrm{Im}(z) \)).

 

Beispiele:

 

• Bei der komplexen Zahl \( z = 2 \ – \ i \) gilt \( \mathrm{Re}(z) = 2 \) und \( \mathrm{Im}(z) = \ – 1 \).

 

• Bei der komplexen Zahl \( z = \ – 3 + 2i \) gilt \( \mathrm{Re}(z) = \ – 3 \) und \( \mathrm{Im}(z) = 2 \).

 

• Bei der komplexen Zahl \( z = \ – 1 + \sqrt{-2} \ = \ – \ 1 + \sqrt{2} \sqrt{-1 } = -1 + \sqrt{ 2} i \), ist \( \mathrm{Re}(z) = \ – 1 \) und \( \mathrm{Im}(z) = \sqrt{2} \).

 

• Bei der komplexen Zahl \( z = \sqrt{\ – 4} = 0 + \sqrt{4} \sqrt{ -1} = 0+2i \) ist \( \mathrm{Re}(z) = 0 \) und \( \mathrm{Im}(z) = 2 \).

 

Beispiel:

 

Unter der Voraussetzung \( a < 0 < b \) bestimmen wir den Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl:

\[ z = \sqrt{(b \ – \ a)a^2} + \sqrt{a \ – \ b} \]

Da \( (b \ – \ a)^2 > 0 \) gilt, folgt:

\[ \sqrt{(b \ – \ a)^2} \in \mathbb{R} \]

Da \( a \ – \ b < 0 \) gilt, folgt:

\[ \sqrt{a \ – \ b} \notin \mathbb{R} \]

Wir formen den Ausdruck für \( z \) wie folgt um:

\[ z = \sqrt{(b \ – \ a)a^2} + \sqrt{a \ – \ b} \]
\[ = \sqrt{b \ – \ a}\,.\,|a| + \sqrt{\ – (b \ – \ a)} \]

Wegen \( a < 0 \) gilt \( |a| = \ – a \). Daraus ergibt sich:

\[ \Rightarrow z = \ – a\sqrt{b \ – \ a} + \sqrt{\ – 1}\sqrt{b \ – \ a} \]
\[ \Rightarrow z = \ – a\sqrt{b \ – \ a} + i\sqrt{b \ – \ a} \]

Demnach erhalten wir:

\[ \mathrm{Re}(z) = \ – a\sqrt{b \ – \ a} \]

und

\[ \mathrm{Im}(z) = \sqrt{b \ – \ a} \]

 

Beispiel:

 

Wir bestimmen die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:

\[ 3x^2 \ – \ \sqrt{3}\,x + 1 = 0 \]

Für die Diskriminante \(\Delta\) gilt:

\[ \Delta = (\ – \sqrt{3})^2 \ – \ 4 \cdot 3 \cdot 1 = \ – 9 < 0 \]

Da \(\Delta < 0\), besitzt die Gleichung zwei verschiedene komplexe Wurzeln:

\[ x_{1,2} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{\ – 9}}{2 \cdot 3} \]
\[ = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{9}\sqrt{\ – 1}}{6} \]
\[ = \frac{\sqrt{3} \pm 3i}{6} \]

Die Lösungsmenge \(\text{L}\) lautet somit:

\[ \text{L} = \left\{\frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 6} + \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}i \,;\, \frac{\displaystyle \sqrt{3}}{\displaystyle 6} \ – \ \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}i \right\} \]

 

Beispiel:

 

Wir berechnen die Nullstellen der Gleichung:

\[ z^2 \ – \ \sqrt{5}\,iz \ – \ 3i = 0 \]

Die Diskriminante \(\Delta\) berechnet sich zu:

\[ \Delta = (\ – \sqrt{5}\,i)^2 \ – \ 4 \cdot 1 \cdot ( \ – \ 3i ) \]
\[ = 5i^2 + 12i = \ – 5 + 12i = (2 + 3i)^2 \]

Mithilfe der quadratischen Lösungsformel erhalten wir:

\[ z_{1,2}= \frac{\displaystyle \sqrt{5}\,i \pm \sqrt{(2 + 3i)^2}} {\displaystyle 2 \cdot 1} = \frac{\displaystyle \sqrt{5}\,i \pm (2 + 3i)} {\displaystyle 2} \]
\[ z_1 = \frac{\displaystyle \sqrt{5}\,i + 2 + 3i} {\displaystyle 2} = 1 + \frac{\displaystyle \sqrt{5} + 3}{\displaystyle 2}i \]
\[ z_2 = \frac{\displaystyle \sqrt{5}\,i \ – \ 2 \ – \ 3i} {\displaystyle 2} = – 1 + \frac{\displaystyle \sqrt{5} \ – \ 3}{\displaystyle 2}i \]

 

Beispiel:

 

Wir bestimmen die Lösungsmenge der Gleichung:

\[ x^3 + 8 = 0 \]

Durch Anwendung der Summe-von-Kuben-Formel erhalten wir:

\[ x^3 + 8 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x^2 \ – \ 2x + 4) = 0 \]
\[ \Rightarrow x_1 = \ – 2 \]

oder aus dem quadratischen Teil:

\[ x^2 \ – \ 2x + 4 = 0 \]
\[ \Delta = (\ – 2)^2 \ – \ 4 \cdot 1 \cdot 4 = – 12 \]

Daraus ergeben sich die weiteren komplexen Wurzeln:

\[ \Rightarrow x_{2,3} = \frac{\displaystyle 2 \pm \sqrt{\ – 12}} {\displaystyle 2 \cdot 1} \]
\[ = \frac{\displaystyle 2 \pm \sqrt{12}\,\sqrt{\ – 1}} {\displaystyle 2} \]
\[ \Rightarrow x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{3}\,i \]

Die vollständige Lösungsmenge im komplexen Zahlenbereich lautet:

\[ \text{L} = \{ – 2, \ 1 + \sqrt{3}\,i, \ 1 \ – \ \sqrt{3}\,i \} \]

 

AUFGABE 1

 

Unter der Bedingung \(x < y < 0\), wie groß ist die Summe aus dem Realteil und dem Imaginärteil der komplexen Zahl

\[ z = \sqrt{\ – x^2 + 2xy \ – \ y^2} \ – \ \sqrt[4]{x^4} \ – \ \sqrt[3]{y^3} \,? \]

\[ A) \ 0 \quad B) \ 2x \quad C) \ – \ 2x \quad D) \ 2y \quad E) \ – \ 2y \]

 

Lösung:

 

Gegebener Ausdruck:

\[ z = \sqrt{\ – x^2 + 2xy \ – \ y^2} \ – \ \sqrt[4]{x^4} \ – \ \sqrt[3]{y^3} \]

Wir vereinfachen die Terme unter den Radikalen:

\[ \Rightarrow z = \sqrt{\ – (x \ – \ y)^2} \ – \ |x| \ – \ y \]

Da \(x < 0\) ist, gilt \(|x| = \ – \ x\). Somit folgt:

\[ \Rightarrow z = |x \ – \ y| \cdot \sqrt{\ – 1} \ – \ (\ – \ x) \ – \ y \]

Wegen \(x < y \Rightarrow x \ – \ y < 0\) gilt für den Betrag \(|x \ – \ y| = \ – \ (x \ – \ y)\). Setzt man dies ein, erhält man:

\[ \Rightarrow z = \ – \ (x \ – \ y)i + x \ – \ y = x \ – \ y + (\ – \ x + y)i \]

Daraus lassen sich Real- und Imaginärteil direkt ablesen:

\[ \mathrm{Re}(z) = x \ – \ y \quad \text{und} \quad \mathrm{Im}(z) = \ – \ x + y \]

Die Summe aus Real- und Imaginärteil beträgt folglich:

\[ \mathrm{Re}(z) + \mathrm{Im}(z) = x \ – \ y \ – \ x + y = 0 \]

 

\( \textbf{Antwort: A} \)