Der Abstand zwischen zwei komplexen Zahlen
Die komplexe Zahl \( z_{1} = x_{1} \ \ + \ \ y_{1}i \) werde in der Gaußschen Zahlenebene durch den Punkt \( A(x_{1}, y_{1}) \) dargestellt,
und die komplexe Zahl \( z_{2} = x_{2} \ \ + \ \ y_{2}i \) durch den Punkt \( B(x_{2}, y_{2}) \).
Der euklidische Abstand zwischen diesen beiden komplexen Zahlen entspricht der Länge der Strecke \( |AB| \) und ist definiert durch:
\[
|AB| = |z_{1} – z_{2}| = \sqrt{ (x_{1} – x_{2})^{2} \ \ + \ \ (y_{1} – y_{2})^{2} }
\]
Beispiel:
Bestimmen Sie den Abstand zwischen den komplexen Zahlen \( z_{1} = 2\sqrt{3} \ \ + \ \ 3i \) und \( z_{2} = \sqrt{3} \ \ + \ \ 2i \).
Die Zahl \( z_{1} \) entspricht dem Punkt \( A(2\sqrt{3}, 3) \) und \( z_{2} \) entspricht dem Punkt \( B(\sqrt{3}, 2) \).
Daraus ergibt sich der Abstand zu:
\[
|AB| = |z_{1} – z_{2}| = \sqrt{ (2\sqrt{3} – \sqrt{3})^{2} \ \ + \ \ (3 – 2)^{2} } = 2
\]
Beispiel:
Stellen Sie die Punktmenge \( \{ z : |z \ – \ 5 \ – \ 6i| = 2, \ z \in \mathbb{C} \} \) in der komplexen Zahlenebene geometrisch dar.
Es sei \( z = x \ \ + \ \ yi \).
\[
|z – 5 – 6i| = 2
\Rightarrow |x + yi \ – \ 5 \ – \ 6i| = 2
\]
\[
\Rightarrow |(x \ – \ 5) + (y \ – \ 6)i| = 2
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ (x \ – \ 5)^{2} + (y \ – \ 6)^{2} } = 2
\]
\[
\Rightarrow (x \ – \ 5)^{2} + (y \ – \ 6)^{2} = 4
\]
Die geometrische Ortskurve aller komplexen Zahlen \( z \), welche die Gleichung \( |z \ – \ 5 \ – \ 6i| = 2 \) erfüllen, ist somit ein Kreis mit dem Mittelpunkt \( M(5, 6) \) und dem Radius \( R = 2 \) Längeneinheiten.
Geometrische Eigenschaften (Ortskurven):
1. Die Punktmenge \( \{ z : |z \ – \ (a + bi)| = R, \ z \in \mathbb{C} \} \) stellt in der Gaußschen Zahlenebene einen Kreis mit dem Mittelpunkt \( M(a, b) \) und dem Radius \( R \) dar.
2. Die Punktmenge \( \{ z : |z \ – \ (a + bi)| < R, \ z \in \mathbb{C} \} \) stellt das offene Innere des Kreises mit dem Mittelpunkt \( M(a, b) \) und dem Radius \( R \) dar (offene Kreisscheibe).
3. Die Punktmenge \( \{ z : |z \ – \ (a + bi)| > R, \ z \in \mathbb{C} \} \) stellt das Äußere des Kreises mit dem Mittelpunkt \( M(a, b) \) und dem Radius \( R \) dar.
4. Die Punktmenge \( \{ z : R_{1} < |z \ – \ (a + bi)| < R_{2}, \ z \in \mathbb{C} \} \) stellt das Gebiet zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit dem gemeinsamen Mittelpunkt \( M(a, b) \) und den Radien \( R_{1} \) und \( R_{2} \) dar (Kreisring).
Beispiel:
Bestimmen Sie die geometrische Darstellung der Punktmenge \( \{ z : |z + 1 \ – \ i| \leq 1, \ z \in \mathbb{C} \} \) in der komplexen Zahlenebene.
\[
|z + 1 \ – \ i| \leq 1 \ \Rightarrow \ |z \ – \ (-1 + i)| \leq 1
\]
Da die komplexe Konstante \( z_{0} = -1 + i \) dem Punkt \( M(-1, 1) \) entspricht, beschreibt diese Ungleichung eine abgeschlossene Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt \( M(-1, 1) \) und dem Radius \( R = 1 \).
Beispiel:
Bestimmen Sie die geometrische Darstellung der Punktmenge \( \{ z : |z + 2i| > 1, \ z \in \mathbb{C} \} \) in der komplexen Zahlenebene.
\[
|z + 2i| > 1 \ \Rightarrow \ |z – (0 – 2i)| > 1
\]
Da die Zahl \( z_{0} = 0 – 2i \) den Punkt \( M(0, -2) \) repräsentiert, entspricht die Punktmenge dem gesamten Außenbereich des Kreises mit dem Mittelpunkt \( M(0, -2) \) und dem Radius \( R = 1 \).
Beispiel:
Bestimmen Sie die geometrische Darstellung der Punktmenge \( \{ z : 1 \leq |z – 3| < 2, \ z \in \mathbb{C} \} \) in der komplexen Zahlenebene.
\[
1 \leq |z – 3| < 2
\Rightarrow
1 \leq |z – (3 + 0 \cdot i)| < 2
\]
Da die Zahl \( z_{0} = 3 + 0 \cdot i \) dem Punkt \( M(3, 0) \) entspricht, stellt dieses Ungleichungssystem den Bereich zwischen zwei konzentrischen Kreisen um den Mittelpunkt \( M(3, 0) \) mit den Radien \( R = 1 \) und \( R = 2 \) dar. Der innere Rand ist enthalten, der äußere Rand ist ausgeschlossen.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Ortskurve der Punktmenge \( \{ z : |2z| \geq |z – 3i|, \ z \in \mathbb{C} \} \) in der Gaußschen Zahlenebene.
Es sei \( z = x + yi \).
\[
|2z| \geq |z – 3i|
\Rightarrow |2(x + yi)| \geq |x + yi – 3i|
\]
\[
\Rightarrow |2x + 2yi| \geq |x + (y – 3)i|
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ (2x)^{2} + (2y)^{2} } \geq \sqrt{ x^{2} + (y – 3)^{2} }
\]
\[
\Rightarrow 4x^{2} + 4y^{2} \geq x^{2} + y^{2} – 6y + 9
\]
\[
\Rightarrow 3x^{2} + 3y^{2} + 6y \geq 9
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2y \geq 3
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + (y + 1)^{2} \geq 2^{2}
\]
Die Punktmenge entspricht somit der Kreislinie sowie dem Außenbereich des Kreises mit dem Mittelpunkt \( M(0, -1) \) und dem Radius \( R = 2 \).
Beispiel:
Bestimmen Sie die Ortskurve der Punktmenge \( \{ z : \displaystyle\left| \frac{z \ – \ i }{z+1} \right| \leq 1, \ z \in \mathbb{C} \} \) in der komplexen Zahlenebene.
*(Hinweis: Der Tippfehler im Bruch der Aufgabenstellung \( \frac{z-1}{z+1} \rightarrow \frac{z-i}{z+1} \) wurde an den mathematischen Lösungsweg angepasst).*
Es sei \( z = x + yi \).
\[
\left| \frac{z – i}{z + 1} \right| \leq 1
\Rightarrow |z – i| \leq |z + 1|
\]
\[
\Rightarrow |x + yi – i| \leq |x + yi + 1|
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ x^{2} + (y – 1)^{2} } \leq \sqrt{ (x + 1)^{2} + y^{2} }
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + y^{2} – 2y + 1 \leq x^{2} + 2x + 1 + y^{2}
\]
\[
\Rightarrow -2y \leq 2x
\]
\[
\Rightarrow y \geq -x
\]
Die Punktmenge entspricht der abgeschlossenen Halbebene oberhalb und auf der Geraden \( y = -x \), wie in der Abbildung dargestellt:
Beispiel:
Bestimmen Sie den geometrischen Bereich der Menge \( \{ z : |z + i| \leq |z + 1| \ \text{ und } \ |z| \leq 2, \ z \in \mathbb{C} \} \) in der komplexen Zahlenebene.
Es sei \( z = x + yi \).
Erste Ungleichung:
\[
|z + i| \leq |z + 1| \
\]
\[
\Rightarrow |x + yi + i| \leq |x + yi + 1|
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ x^{2} + (y + 1)^{2} } \leq \sqrt{ (x + 1)^{2} + y^{2} }
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2y + 1 \leq x^{2} + 2x + 1 + y^{2}
\]
\[
\Rightarrow y \leq x
\]
Zweite Ungleichung:
\[|z| \leq 2 \Rightarrow \sqrt{x^2 +y^2} \leq 2 \]
\[ x^2 + y^2 \leq 4 \]
Die Schnittmenge dieser beiden Bedingungen beschreibt das Segment einer Kreisscheibe mit dem Radius 2, das unterhalb oder auf der Geraden \( y = x \) liegt.
Beispiel:
Bestimmen Sie die Darstellung der Punktmenge \( \{ z : |z + 4i| < |z| \ \text{ oder } \ |z + i| \leq 1, \ z \in \mathbb{C} \} \) in der komplexen Zahlenebene.
Es sei \( z = x + yi \).
Aus der ersten Bedingung:
\[
|z + 4i| < |z|
\Rightarrow |x + yi + 4i| < |x + yi|
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ x^{2} + (y + 4)^{2} } < \sqrt{ x^{2} + y^{2} }
\]
\[
\Rightarrow x^{2} + y^{2} + 8y + 16 < x^{2} + y^{2}
\]
\[
\Rightarrow 8y < -16 \Rightarrow y < -2
\]
Aus der zweiten Bedingung:
\[
|z + i| \leq 1
\Rightarrow |z – (0 – i)| \leq 1
\]
Dies beschreibt eine Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt \( M(0, -1) \) und dem Radius \( R = 1 \). Da es sich um eine logische Oder-Verknüpfung (Vereinigungsmenge) handelt, ergibt sich das folgende geometrische Bild:
Beispiel:
Stellen Sie die Punktmenge \( \{ z : |z + 1| \ – \ |z – 1| \geq 2, \ z \in \mathbb{C} \} \) in der Gaußschen Zahlenebene dar.
Es sei \( z = x + yi \).
\[
|z + 1| \ – \ |z \ – \ 1| \geq 2
\Rightarrow |x + yi + 1| \ – \ |x + yi \ – \ 1| \geq 2
\]
\[
\Rightarrow \sqrt{ (x + 1)^{2} + y^{2} } \ – \ \sqrt{ (x \ – \ 1)^{2} + y^{2} } \geq 2
\]
Quadrieren beider Seiten liefert:
\[
x^{2} + 2x + 1 + y^{2}
\geq
4 + x^{2} \ – \ 2x + 1 + y^{2}
+ 4\sqrt{ (x \ – \ 1)^{2} + y^{2} }
\]
\[
\Rightarrow 4x – 4 \geq 4\sqrt{ (x – 1)^{2} + y^{2} }
\]
\[
\Rightarrow x \ – \ 1 \geq \sqrt{ x^{2} – 2x + 1 + y^{2} }
\]
Erneutes Quadrieren unter der Definitionsbedingung \( x \ – \ 1 \geq 0 \) ergibt:
\[
x^{2} \ – \ 2x + 1 \geq x^{2} \ – \ 2x + 1 + y^{2}
\]
\[
\Rightarrow y^{2} \leq 0
\]
Da \( y \) eine reelle Zahl sein muss, ist \( y^{2} \leq 0 \) nur für \( y = 0 \) erfüllt. Zusammen mit der Bedingung \( x \geq 1 \) entspricht die gesuchte Menge einem Strahl (Halbgerade) auf der reellen Achse im Intervall \( x \in [1, \infty) \).
Beispiel:
Für \( z \in \mathbb{C} \) gelte \( |z| \leq 3 \). Bestimmen Sie den maximalen und minimalen Wert des Ausdrucks \( |z \ – \ 8 \ – \ 6i| \).
Die komplexen Zahlen, die die Bedingung \( |z| \leq 3 \) erfüllen, liegen auf oder innerhalb eines Kreises um den Ursprung \( M(0, 0) \) mit dem Radius \( R = 3 \).
Der Ausdruck \( |z \ – \ 8 \ – \ 6i| = |z – (8 + 6i)| \) repräsentiert den Abstand zwischen der variablen Zahl \( z \) und dem festen Punkt \( z_{3} = 8 + 6i \).
Der Abstand vom Ursprung zu \( z_{3} \) beträgt nach dem Betrag \( \sqrt{8^2 + 6^2} = 10 \).
Wählt man den Punkt \( z = z_{1} \) auf der dem Punkt \( z_3 \) gegenüberliegenden Seite der Kreislinie (kollinear mit dem Ursprung), wird der Abstand maximal:
\[ d_{\text{max}} = 10 + 3 = 13 \]
Wählt man den Punkt \( z = z_{2} \) auf dem zugewandten Rand der Kreisfläche, wird der Abstand minimal:
\[ d_{\text{min}} = 10 – 3 = 7 \]