Betragsgleichungen
\(1. \) Unter der Bedingung \( A \ge 0 \), wenn \( \left | f(x) \right | = A \) gilt, dann ist \( f(x) = A \) oder \( f(x) = -A \).
Beispiel:
\( \bullet \quad \) \( \left | x \right | = 2 \Rightarrow x = 2 \;\; \) oder \( x = -2 \;\; \); die Lösungsmenge ist \(L = \{2, -2 \} \)
\( \bullet \quad \) \( \left | x \right | = -2 \Rightarrow L = \{ \emptyset \} \)
\( \bullet \quad \) \( \left | x \right | = 0 \Rightarrow L = \{ 0 \} \).
Beispiel:
\[ \sqrt{\left | 4x^2+1 \right| -4x } + \left| 1 -2x \right | = 6 \] Bestimmen wir die Lösungsmenge dieser Gleichung.
\( \Rightarrow \left | 4x^2+1 \right| > 0 \) Da dies stets gilt, fällt der Betrag positiv weg: \( \left | 4x^2+1 \right| = 4x^2+1 \).
\[ \sqrt{\left | 4x^2+1 \right| -4x } + \left| 1 -2x \right | = 6 \]
\[ \Rightarrow \sqrt{4x^2+1 -4x } + \left| 1 -2x \right | = 6\]
\(2. \) Wenn \( \left | f(x) \right| = \left | g(x) \right| \) gilt, dann ist \( f(x) = g(x) \) oder \( f(x) = – \; g(x) \)
Beispiel:
\[ \left | 2x-5 \right| = |1-x |\] Bestimmen wir die Lösungsmenge dieser Gleichung.
\[\begin{aligned}
2x \;- \;5 =& 1 -x \quad &\text{oder } \quad 2x \;- 5 =& \;- \;(1\; -\; x )\\
2x-5 =&1 -x \quad &\text{oder } \quad 2x \;-5 = &\;-1+ x\\
\Rightarrow x = &2 \quad &\text{oder } \quad \Rightarrow x =&4\\
\end{aligned}\]
\(3. \) Wenn \( \left | f(x) \right| = g(x) \) gilt, dann ist \( f(x) = g(x) \) oder \( f(x) = – \; g(x) \).
Hinweis:
Bei der Lösung von Gleichungen der Form \( | f(x) | = g(x) \) müssen die gefundenen \(x \)-Werte in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden, um zu überprüfen, ob sie die Gleichung tatsächlich erfüllen (Probe).
Beispiel:
\[ \left| \frac{2x-1}{3} \right| = x-2 \] Bestimmen wir die Lösungsmenge dieser Gleichung.
\[ \frac{2x-1}{3} = x -2 \Rightarrow x= 5 \] oder \[ \frac{2x-1}{3} = -(x-2) \Rightarrow x = \frac{7}{5} \]
Wenn hier der Wert \( x = \frac{7}{5} \) in die gegebene Gleichung eingesetzt wird, zeigt sich, dass er die Gleichung nicht erfüllt: \[ \left| \frac{2 \cdot \frac{7}{5} -1}{3} \right| \neq \frac{7}{5} -2 \] Folglich gilt: \[ L = \{5\} \]
\(4. \) Bei einer Gleichung der Form \( \left | f(x) \right| + \left | g(x) \right| = A \) werden zunächst die Nullstellen von \( f(x) \) und \( g(x) \) berechnet. Alle gefundenen Nullstellen werden auf einer Zahlengeraden markiert. Die Gleichung wird für jedes so entstandene Intervall separat gelöst. Die Gesamtlösungsmenge ergibt sich aus der Vereinigung der einzelnen Teil-Lösungsmengen.
Beispiel:
\[ \left| x\;+ \; 2 \right| \;+ \; \left| x\;-\; 1 \right| = 3 \] Bestimmen wir die ganzzahligen Werte für x, die diese Gleichung erfüllen.
\[\begin{aligned}x+2= 0 \Rightarrow \quad &x = -2 \\ x-1 =0 \Rightarrow \quad &x = 1 \end{aligned}\]
Führen wir die Berechnung für die drei entstandenen Intervalle durch:
Für \( x \le -2 \):
\[ – (x + 2 ) + (- (x-1)) = 3 \Rightarrow -2x-1 = 3 \Rightarrow x = -2 \]
Da \( -2 \le -2\) wahr ist, gilt \( L_1= \{ -2 \} \)
Für \(-2 \le x \le 1 \):
\[ (x + 2 ) + (- (x-1)) = 3 \Rightarrow 3= 3 \] Da diese Aussage allgemeingültig ist, erfüllt jeder ganzzahlige Wert in diesem Intervall die Gleichung. Daher gilt: \( L_2= \{ -2, -1 , 0 , 1 \} \)
Für \( x \ge 1 \):
\[ x+ 2 + x – 1 = 3 \Rightarrow 2x+1 = 3 \Rightarrow x = 1 \]
Da \( 1 \le 1\) wahr ist, gilt \( L_3= \{ 1 \} \)
Demnach ist \( L = L_1 \cup L_2 \cup L_3 = \{ -2, -1, 0, 1 \} \).
Aufgabe 32
\[ \left | \frac{2x-1}{5 } \right | = 3 \]
Wie groß ist die Summe der x-Werte, die diese Gleichung erfüllen?
\[
\text{A)} 1\quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C)} 3\quad
\text{D) } 4 \quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
\[ \left | \frac{2x-1}{5 } \right | = 3 \Rightarrow \frac{2x-1}{5} = 3 \]
\[ x_1= 8\]
\[ \left | \frac{2x-1}{5 } \right | = 3 \Rightarrow – \left( \frac{2x-1}{5} \right) = 3 \]
\[ x_2= -7 \]
\[ x_1 + x_2 = 8-7 = 1 \]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 33
\[ \left | |2x-1| -1 \right | = 3 \]
Wie groß ist das Produkt der x-Werte, die diese Gleichung erfüllen?
\[
\text{A)} 1\quad
\text{B) } -\frac{15}{4} \quad
\text{C)} \frac{15}{4}\quad
\text{D) }- \frac{5}{2} \quad
\text{E) } \frac{5}{2}
\]
Lösung:
\[ \left | |2x-1| -1 \right | = 3 \]
\( \Rightarrow |2x-1| -1 = 3 \) oder \( |2x-1| -1= -3 \)
\(\Rightarrow |2x-1| = 4 \) oder \( |2x-1| = -2 \Rightarrow L= \{ \emptyset \} \)
\[ |2x-1| = 4 \Rightarrow x_1= \frac{5}{2} \]
oder
\[ |2x-1| = -4 \Rightarrow x_2= -\frac{3}{2} \]
\[x_1 \cdot x_2 = \frac{5}{2} \cdot -\left(\frac{3}{2}\right) = – \frac{15}{4} \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 34
\[ -1 < \left | 2x-5 \right | < 2 \] Wie viele ganzzahlige Werte von x erfüllen diese Ungleichung?
\[
\text{A)} 1\quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C)} 3 \quad
\text{D) } 4\quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Da \(x \) eine ganze Zahl ist, nimmt auch der Ausdruck \(2x – 5 \) ganzzahlige Werte an. Die ganzen Zahlen, die echt zwischen \(-1 \) und \(2 \) liegen, sind \(0 \) und \( 1 \). Demnach gilt:
\[ \left | 2x-5 \right | =0 \Rightarrow 2x- 5 =0 \Rightarrow x = \frac{5}{2 } \notin Z \]
\[ \left | 2x-5 \right | =1 \Rightarrow 2x- 5 =1 \Rightarrow x = 3 \] oder
\[ \left | 2x-5 \right | =1 \Rightarrow 2x- 5 =-1 \Rightarrow x = 2 \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 35
\[ | |x| +1 | + |2x| + | -x | = 9 \] Wie groß ist die Summe der x-Werte, die diese Gleichung erfüllen?
\[
\text{A)} -3\quad
\text{B) } -2 \quad
\text{C)} -1 \quad
\text{D) } 0\quad
\text{E) } 1
\]
Lösung:
Da \( |x | \ge 0 \) und folglich \( |x | +1 \ge 0 \) gilt, erhalten wir:
\[ | |x| +1 | = |x| +1 \]
\[ | |x| +1 | + |2x| + |-x | = 9 \]
\[ \Rightarrow |x | + 1 + 2 |x | + |x | =9 \]
\[\Rightarrow 4 |x | = 8 \Rightarrow |x| = 2 \]
\[ x_1= 2 \quad \quad \text{oder } \quad \quad x_2= -2 \]
\[ x_1+ x_2 = 0\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 36
Unter der Bedingung \( a < b < 0 < c\):
\[ (c+ b- a)^{10} = (a-b- 3 )^{10} \] Wie groß ist c?
\[
\text{A)} 1\quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C)} 3 \quad
\text{D) } 4\quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
\[ (c+ b -a )^{10} = (a-b-3)^{10} \]
\[\Rightarrow |c+ b -a| = |a-b-3| \]
Da \( a < b < 0 < c \), gilt \( c+b-a > 0 \) und \( a-b-3 < 0 \). Daraus folgt:
\[\Rightarrow c+b -a = -(a-b-3) \]
\[\Rightarrow c+b -a = -a+b+3 \]
\[\Rightarrow c = 3 \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 37
Welcher ganzzahlige Wert von x erfüllt die Gleichung \( |3x-5| = |2x-1 |\)?
\[
\text{A)} 1\quad
\text{B) } 2 \quad
\text{C)} 3 \quad
\text{D) } 4\quad
\text{E) } 5
\]
Lösung:
Aus \( |3x-5| = |2x-1 |\) folgt:
\[ 3x-5 = 2x-1 \]
\[ x = 4 \]
oder
\[ 3x-5 = -(2x-1) \]
\[ 3x-5 = -2x+1 \]
\[ x = \frac{6}{5} \notin Z \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 38
Wie lautet die Lösungsmenge der Gleichung \( |x-3| = |3-2x |\)?
\[
\text{A)} \{-1, 1 \}\quad
\text{B) } \{2 \} \quad
\text{C)} \{0, 2 \} \quad
\text{D) } \{0, 1 \}\quad
\text{E) } \{0\}
\]
Lösung:
Aus \( |x-3| = |3-2x | \) folgt:
\[ x-3 = 3-2x \]
\[ x = 2 \]
oder
\[ x-3 = -(3-2x) \]
\[ x-3 = -3+2x \]
\[ x = 0 \]
Für \( x = 2 \):
\[ |2-3 | = |3-2 \cdot 2| \Rightarrow |-1| = |-1| \]
Dies erfüllt die ursprüngliche Gleichung. (Hinweis: Der Ausgangstext prüft fälschlicherweise gegen eine Gleichung ohne Betragsstrich auf einer Seite, bei \(|f(x)|=|g(x)|\) sind jedoch beide Lösungen korrekt).
Für \( x = 0 \):
\[ |0-3 | = |3-2 \cdot 0| \Rightarrow |-3| = |3| \]
Dies erfüllt ebenfalls die Gleichung. Daher gilt:
\[ L = \{0, 2\} \]
*(Hinweis: Sollte die Gleichung im Original \( |x-3| = 3-2x \) lauten, so wäre nur \( x=0 \) korrekt, was der Antwortmöglichkeit E im Text entspricht).*
\(\textbf{Antwort: C} \) (oder \(\textbf{E}\) je nach Kontextfehler der Betragsstriche in der Quelle)
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