Probleme mit den vier Grundrechenarten
Beispiel:
Bestimmen wir die Zahl, deren ein Drittel von 5 weniger als dem 2-Fachen gleich 15 ist. Nennen wir die gesuchte Zahl \( x \). \[ \frac{2x-5}{3 } = 15 \Rightarrow x = 25 \] wird als Ergebnis ermittelt.
Beispiel:
Wenn von zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ein Fünftel der kleineren Zahl um 5 größer ist als ein Sechstel von 7 weniger als der größeren Zahl, bestimmen wir die kleinere dieser Zahlen. Bezeichnet man die kleinere von zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen mit \(x \), so ist die größere \( x + 2 \). Demnach lautet die Gleichung für dieses Problem:
\[\frac{x}{5} = \frac{(x+2) – 7}{6} +5 \] Wenn man sie löst, wird die kleinere Zahl als \(x = 125 \) berechnet.
Beispiel:
Wenn man vom Zähler eines Bruches, dessen Wert \(\large \frac{2}{3} \) beträgt, 1 subtrahiert und zu seinem Nenner 1 addiert, wird der Wert des Bruches zu \( \large \frac{3}{5} \). Bestimmen wir, um wie viel der Nenner dieses Bruches größer ist als sein Zähler.
Da dieser Bruch die Form \(\large \frac{2x}{3x} \) hat, berechnen wir den Wert von \(3x – 2x = x \). Wenn die Gleichung zu diesem Problem als \[ \frac{2x-1}{3x+1 } = \frac{3}{5} \] formuliert wird, ergibt sich \( x = 8 \).
Aufgabe 1
Wenn vom 3-Fachen einer negativen Zahl das 2-Fache des Kehrwertes dieser Zahl subtrahiert wird, ist das Ergebnis 1. Wie lautet diese Zahl?
\[
\text{A)} -3 \quad
\text{B) } -\frac{3}{2} \quad
\text{C) } -2\quad
\text{D) } -\frac{2}{3} \quad
\text{E) } -1
\]
Lösung:
Bezeichnet man die gesuchte Zahl mit \( x \), so wird die Gleichung für dieses Problem als \(3x-2 \cdot \large{ \frac{1}{x}} = 1 \) geschrieben.
Wenn man beide Seiten der Gleichung mit \( x \) multipliziert und umstellt:
\[ 3x^2 -x- 2 = 0 \Rightarrow (3x+2 ) (x-1) = 0 \]
\[\Rightarrow 3x+2 = 0 \] oder \[ x-1 = 0 \]
\[\Rightarrow x= -\frac{2}{3} \quad \text{oder } \quad x= 1 \]
Da die Zahl negativ sein muss, lautet die gesuchte Zahl: \[ x = -\frac{2}{3} \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 2
Wenn sich die Schüler einer Klasse zu dritt auf die Bankreihen setzen, bleiben 11 Schüler stehen. Wenn sie sich zu viert hinsetzen, bleibt Platz für 3 Personen frei. Wie viele Schüler sind in dieser Klasse?
\[
\text{A)} 55 \quad
\text{B) } 53 \quad
\text{C) } 50\quad
\text{D) } 48 \quad
\text{E) } 45
\]
Lösung:
Wird die Anzahl der Bankreihen in der Klasse mit x bezeichnet, so beträgt die Anzahl der Schüler entweder \(3x + 11 \) oder \( 4x – 3 \). Demnach ergibt sich aus der Gleichung \[ 3x + 11 = 4x – 3 \] der Wert \[ x = 14 \]. Die Gesamtzahl der Schüler in der Klasse beträgt folglich:
\[ 3 \cdot 14 + 11 = 53 \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 3
Sait gibt ein Viertel seiner Walnüsse an Sinan und zwei Drittel der verbleibenden Nüsse an Özcan. Wenn Sait am Ende noch 25 Walnüsse übrig hat, wie viele Walnüsse hatte er zu Beginn?
\[
\text{A)} 25 \quad
\text{B) } 40 \quad
\text{C) } 60\quad
\text{D) } 80 \quad
\text{E) } 100
\]
Lösung:
Sait besitze \(x \) Walnüsse. Wenn er \(\large \frac{1}{4} \) seiner Walnüsse an Sinan abgibt, verbleiben ihm \( \large \frac{3x}{4} \) Nüsse. Gibt er von den verbleibenden \( \frac{3x}{4} \) Nüssen zwei Drittel an Özcan, so hat er letztlich noch: \[\frac{3x}{4 } \cdot \frac{1}{3 } = 25 \] Walnüsse übrig. Demnach beträgt die Anzahl der Walnüsse, die Sait zu Beginn hatte, \( x = 100 \).
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 4
Die Anzahl von Uğurs Murmeln ist um 18 größer als ein Drittel der Murmeln von Selim. Die Anzahl von Selims Murmeln wiederum ist um 10 größer als ein Drittel von Uğurs Murmeln. Wie viele Murmeln besitzen Uğur und Selim insgesamt?
\[
\text{A)} 32 \quad
\text{B) } 36 \quad
\text{C) } 38\quad
\text{D) } 40 \quad
\text{E) } 42
\]
Lösung:
Bezeichnet man die Anzahl von Selims Murmeln mit \( 9x\), so beträgt die Anzahl von Uğurs Murmeln \( 3x + 18 \). Wenn die Gleichung zu diesem Problem wie folgt aufgestellt wird:
\[9x = \frac{3x+ 18}{3} + 10 \] vereinfacht sich dies zu \[9x = x + 6 + 10 \Rightarrow x= 2 \] . Die Summe aller Murmeln von Uğur und Selim beträgt:
\[9x + (3x +18 ) = 42 \] .
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 5
In einer Reisegruppe von 15 Personen haben einige Personen als Gäste in dem Restaurant, in dem sie gegessen haben, keine Rechnung bezahlt. Aus diesem Grund bezahlten die Personen, die keine Gäste waren, jeweils 62.500 Lira mehr und beglichen eine Rechnung von jeweils 312.500 Lira.
Wie hoch ist demnach die Anzahl der Gäste in der Gruppe?
\[
\text{A)} 7 \quad
\text{B) } 6 \quad
\text{C) } 5\quad
\text{D) } 3 \quad
\text{E) } 2
\]
Lösung:
Wird die Anzahl der Gäste in der Gruppe mit \( x\) bezeichnet, so haben \(15 – x \) Personen jeweils 312.500 Lira bezahlt, was einen Rechnungsbetrag von insgesamt \( 312.500 \cdot (15 – x) \) Lira ergibt. Wenn jede Person in der Gruppe bezahlt hätte, hätte der Betrag pro Person:
\[ 312.500 – 62.500 = 250.000 \]
Lira betragen. Wenn wir die entsprechende Gleichung aufstellen:
\[15 \cdot 250.000 = (15-x) \cdot 312.500 \] ergibt sich für die Anzahl der Gäste in der Gruppe \( x = 3 \).
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 6
Uğur kauft mit einem Fünftel des Geldes in seiner Tasche einen Stift und mit zwei Dritteln seines restlichen Geldes ein Buch, woraufhin ihm noch 40 Lira in der Tasche verbleiben.
Wie viel Geld hatte Uğur demnach zu Beginn in seiner Tasche?
\[
\text{A)} 100 \quad
\text{B) } 120 \quad
\text{C) } 150 \quad
\text{D) } 200 \quad
\text{E) } 250
\]
Lösung:
Bezeichnet man das Geld, das Uğur anfangs besaß, mit \(x \), so verbleiben ihm nach dem Kauf des Stiftes (für den ein Fünftel aufgewendet wurde) noch \(x \cdot \large{ \frac{4}{5} } \). Da er für das Buch zwei Drittel des restlichen Geldes \( (\large \frac{4x}{5} )\) ausgibt, beträgt das danach verbleibende Geld ein Drittel dieses Betrages \( \large \frac{4x}{5} \). Somit ist sein Restgeld gleich \( \large \frac{4x}{5} \cdot \frac{1}{3} \). Da ihm 40 Lira übrig geblieben sind, stellen wir folgende Gleichung auf:
\[40= \frac{4x}{5} \cdot \frac{1}{3} \] woraus sich \( x= 150 \) Lira ergibt.
\(\textbf{Antwort: C} \)
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