Ganze Zahlen
Auf einem Thermometer werden Temperaturen über 0 als positive (+) Temperaturen und Temperaturen unter 0 als negative (-) Temperaturen bezeichnet. Ähnlich verhält es sich bei der Angabe von Höhenlagen in der Geographie: Die Höhe des Meeresspiegels wird als 0 festgelegt, wobei Erhebungen durch positive (+) Zahlen und Tiefen durch negative (-) Zahlen angegeben werden. Dies zeigt, dass Zahlen kleiner als Null notwendig sind, um bestimmte alltägliche und wissenschaftliche Messgrößen exakt zu beschreiben.
Positive ganze Zahlen
Ganze Zahlen, die streng größer als null sind, nennt man positive ganze Zahlen. Diese Zahlenreihe setzt sich formal als +1, +2, +3, … fort. Die Menge der positiven ganzen Zahlen wird mit Z+ abgekürzt und wie folgt definiert: Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}
Negative ganze Zahlen
Ganze Zahlen, die streng kleiner als null sind, heißen negative ganze Zahlen. Diese Zahlenreihe setzt sich formal als −1, −2, −3, … fort. Die Menge der negativen ganzen Zahlen wird mit Z– abgekürzt und wie folgt definiert: Z– = {−1, −2, −3, −4, …}
Die Menge der ganzen Zahlen
Die Vereinigung der positiven ganzen Zahlen, der negativen ganzen Zahlen und der Zahl Null bildet die Menge der ganzen Zahlen. Diese Menge wird mit dem Symbol Z bezeichnet und formal wie folgt ausgedrückt: Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z– In aufzählender Schreibweise ergibt sich:
Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Beziehung zwischen natürlichen und ganzen Zahlen
Alle Elemente der Menge der natürlichen Zahlen sind zugleich auch Elemente der Menge der ganzen Zahlen. Das bedeutet, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Teilmenge der ganzen Zahlen ist. Diese Relation wird symbolisch durch N ⊆ Z ausgedrückt. Folglich gilt: Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.
Mengenalgebraische Definition der ganzen Zahlen
Ganze Zahlen können formal auch über geordnete Paare natürlicher Zahlen konstruiert werden:
Jedes geordnete Paar natürlicher Zahlen definiert eine ganze Zahl über die Äquivalenzklasse der Differenz:
(a, b) = a – b.
Sei a eine von Null verschiedene natürliche Zahl;
(a, 0) = a – 0 = a;
(0, a) = 0 – a = -a.
Für jede natürliche Zahl r repräsentiert das geordnete Paar (r, r) die Zahl Null (0):
(r, r) = r – r = 0.
Beispiele:
- (7, 3) = (5, 1) = (4, 0) = 4 − 0 = +4
- (3, 9) = (1, 7) = (0, 6) = 0 − 6 = −6
- (5, 5) = (1, 1) = (0, 0) = 0 − 0 = 0
Beispiel
Sei \(a \cdot b = 6\) und \(b \cdot c = 15\), wobei \(a\), \(b\) und \(c\) ganze Zahlen sind. Wir suchen den kleinstmöglichen Wert des Produkts \(a \cdot b \cdot c\).
Da \(a\), \(b\) und \(c\) ganzzahlig sein müssen, gilt:
\(a \cdot b = 6 \implies 1 \cdot 6 = (-1) \cdot (-6) = 2 \cdot 3 = (-2) \cdot (-3)\)
und
\(b \cdot c = 15 \implies 1 \cdot 15 = (-1) \cdot (-15) = 3 \cdot 5 = (-3) \cdot (-5)\)
Um das Produkt \(a \cdot b \cdot c\) zu minimieren, wählen wir die optimalen Werte für \(a\), \(b\) und \(c\). Die entsprechenden Belegungen für \((a, b, c)\) können entweder \((-6, -1, -15)\) oder \((2, -3, -5)\) sein. Daraus ergibt sich der minimale Wert des Produkts \(a \cdot b \cdot c\) zu:
\((-6) \cdot (-1) \cdot (-15) = -90\).