Gerade und ungerade Zahlen
Ganze Zahlen, die ohne Rest durch 2 teilbar sind, werden als gerade Zahlen bezeichnet; ganze Zahlen, die nicht ohne Rest durch 2 teilbar sind, heißen ungerade Zahlen.
Unter der Bedingung $n \in \mathbb{Z}$ lautet die allgemeine mathematische Formel für gerade Zahlen $2n$ und für ungerade Zahlen $2n-1$ (oder $2n+1$).
Wird die Menge der ungeraden Zahlen mit $U$ und die Menge der geraden Zahlen mit $G$ symbolisiert, lassen sie sich wie folgt als Zahlenfolgen darstellen:
$$U = \{ \dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots, 2n – 1, 2n + 1, \dots \}$$
$$G =\{\dots,−6,−4,−2,0,2,4,6,\dots,2n,\dots\} $$
Es sei $u$ eine beliebige ungerade Zahl und $g$ eine beliebige gerade Zahl. Für die Grundrechenarten mit geraden und ungeraden Zahlen gelten die folgenden arithmetischen Gesetzmäßigkeiten:
\[u \pm u = g\]
\[u \pm g= t\]
\[g \pm u = t\]
\[g \pm g= g\]
\[u \cdot u = u\]
\[u \cdot g = g\]
\[g \cdot u = g\]
\[g \cdot g = g\]
Zudem gilt für jede natürliche positive Hochzahl $n \in \mathbb{N}^{+}$ stets $g^n=g$ und $g^n=g$.
Hinweis:
Ist das Ergebnis einer Multiplikation eine ungerade Zahl, so müssen zwingend alle Faktoren ungerade Zahlen sein. Ist das Produkt hingegen eine gerade Zahl, muss mindestens einer der Faktoren eine gerade Zahl sein.
Beispiele:
- Wenn $3\cdot7^3\cdot5^{10}\cdot{11}=a$ gilt, ist $a$ eine ungerade Zahl,
- Wenn $5^4\cdot7^9\cdot2^{11} = b$ gilt, ist $b$ eine gerade Zahl, da der enthaltene Faktor $2^{11}$ eine gerade Zahl darstellt.
Beispiel:
Unter der Annahme, dass $n$ eine ganze Zahl ist, bestimmen wir, ob sich die Eigenschaft (gerade oder ungerade) der folgenden Terme eindeutig nachweisen lässt: $$6\cdot n^3 + 7^3, \quad 5^4-6^7+10\cdot n,\quad 2\cdot n^5+12,\quad 8\cdot n^6, \quad 11\cdot n^4, \quad n\cdot 7^3$$ Da das Produkt aus einer beliebigen ganzen Zahl und einer geraden Zahl immer eine gerade Zahl ergibt, sind die Terme $$6\cdot n^3 ,\quad 10\cdot n,\quad 2\cdot n^5,\quad 8\cdot n^6 \quad \text{sowie} \quad 6^7$$ stets gerade Zahlen. Da die Potenzen $$7^3 \quad \text{und} \quad 5^4$$ ungerade Werte liefern, folgt:
- $6\cdot n^3 + 7^3$ ist eine ungerade Zahl $(\text{gerade} + \text{ungerade} = \text{ungerade})$
- $5^4-6^7+10\cdot n$ ist eine ungerade Zahl $(\text{ungerade} – \text{gerade} + \text{gerade} = \text{ungerade})$
- $2\cdot n^5 +12 =2\cdot (n^5+6)$ ist eine gerade Zahl (wegen des geraden Faktors 2)
- $8\cdot n^6$ ist eine gerade Zahl (wegen des geraden Koeffizienten 8)
Über die Terme $11\cdot n^4$ und $n\cdot 7^3$ lässt sich hingegen keine allgemeingültige Aussage treffen. Hier hängt das Ergebnis vollständig von $n$ ab: Ist $n$ ungerade, sind auch die Ergebnisse ungerade; ist $n$ gerade, so sind die Endergebnisse gerade.