Aufeinanderfolgende Zahlen
In einer geordneten Sequenz wird jedes Element, das nach einer bestimmten Regel unmittelbar auf das vorherige folgt, als aufeinanderfolgendes Element bezeichnet. Ganze Zahlen, die nach einer festen Gesetzmäßigkeit nacheinander angeordnet sind, heißen folglich aufeinanderfolgende Zahlen.
- Das auf $n$ folgende nächste Element lautet $n + 1$.
- Im Bereich der ungeraden Zahlen folgt auf die $7$ die $9$.
- In dem algebraischen Ausdruck $1+ x + x^2+ x^3$ folgt auf das Glied $x^2$ das Glied $x^3$.
Zahlen, die nach einer bestimmten mathematischen Regel lückenlos aufeinanderfolgen, werden allgemein als aufeinanderfolgende Zahlen bezeichnet.
Beispiele:
Unter der Bedingung $n \in \mathbb{Z}$ lassen sich folgende Reihen bilden:
- Aufeinanderfolgende ganze Zahlen: $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots, n, n+1, \dots$
- Aufeinanderfolgende gerade Zahlen: $\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots, 2n, 2n+2, \dots$
- Aufeinanderfolgende ungerade Zahlen: $\dots, -5, -3, -1, 1, 3, 5, \dots, 2n-1, 2n+1, \dots$
- Aufeinanderfolgende ganze Zahlen, die Vielfache von 3 sind: $\dots, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \dots, 3n, 3n+3, \dots$
- Aufeinanderfolgende Zahlen mit dem allgemeinen Glied $n^3$: $\dots, -27, -8, -1, 0, 1, 8, \dots, n^3, (n+1)^3, \dots$
- Aufeinanderfolgende ganze Zahlen mit einer konstanten Differenz von 5:
$$\dots, -12, -7, -2, 3, 8, 13, \dots, 5n+3, 5n+8, \dots$$
$$\dots, -14, -9, -4, 1, 6, 11, \dots, 5n+1, 5n+6, \dots$$
Beispiel:
Unter der Bedingung $a < b < c$ seien $a$, $b$ und $c$ aufeinanderfolgende ungerade Zahlen. Wir bestimmen den Wert des folgenden Terms: $$(c-a) \cdot (b-c) + (a-c) \cdot (a-b)^3 \cdot (b-c)$$
Da $a$, $b$ und $c$ aufeinanderfolgende ungerade Zahlen sind, wachsen sie jeweils um den konstanten Wert 2. Wenn wir diese Variablen als $n$, $n+2$ bzw. $n+4$ ausdrücken, erhalten wir:
$$(c-a) \cdot (b-c) = (n+4-n) \cdot [n+2-(n+4)] = 4 \cdot (-2) = -8$$
$$(a-c) \cdot (a-b)^3 \cdot (b-c) = [n-(n+4)] \cdot [n-(n+2)]^3 \cdot [n+2-(n+4)] = (-4) \cdot (-2)^3 \cdot (-2) = (-4) \cdot (-8) \cdot (-2) = -64$$
Addieren wir beide Zwischenergebnisse zusammen:
$$(-8) + (-64) = -72$$
Da der Parameter $n$ vollständig entfällt und das Ergebnis nicht beeinflusst, kann man die Aufgabe alternativ lösen, indem man zulässige Beispielwerte wählt:
Wir wählen $a=1, b=3, c=5$:
$$= (5 – 1) \cdot (3 – 5) + (1 – 5) \cdot (1 – 3)^3 \cdot (3 – 5)$$
$$= 4 \cdot (-2) + (-4) \cdot (-2)^3 \cdot (-2)$$
$$= -8 + (-64) = -72$$
Beispiel:
Die Summe von fünf aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen beträgt $k$. Wir drücken die größte dieser Zahlen in Abhängigkeit von $k$ aus.
Da der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen stets 2 beträgt, bezeichnen wir die kleinste Zahl als $x$. Die fünf Zahlen lauten:
$$x, \quad x+2, \quad x+4, \quad x+6, \quad x+8$$ Da ihre Summe gleich $k$ ist, gilt:
$$5x + 20 = k \implies x = \frac{k-20}{5} = \frac{k}{5} – 4$$ Daraus ergibt sich die größte der ungeraden Zahlen zu:
$$x+8 = \frac{k}{5} – 4 + 8 \implies x+8 = \frac{k+20}{5}$$
Lösen wir die Aufgabe nun über einen zweiten Weg: In einer endlichen arithmetischen Reihe mit einer ungeraden Anzahl an Gliedern entspricht das mittlere Element genau dem arithmetischen Mittelwert aller Zahlen. Demnach ist die mittlere Zahl, also $x + 4$, gleich $\frac{k}{5}$. Da die größte Zahl exakt um 4 Einheiten größer ist als das mittlere Element, folgt:
$$\text{Größte Zahl} = \frac{k}{5} + 4 \implies \text{Größte Zahl} = \frac{k+20}{5}$$
FRAGE 7
Das Produkt dreier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen beträgt 120. Wie groß ist die Summe dieser drei Zahlen?
\[ \text{A) } 9 \quad \text{B) } 12 \quad \text{C) } 15 \quad \text{D) } 18 \quad \text{E) } 21 \]
Lösung:
Wir zerlegen die Zahl 120 in Produkte aus drei ganzzahligen Faktoren, um die aufeinanderfolgende Kombination zu finden:
$$120 = 1 \cdot 2 \cdot 60 \quad \quad 120 = 2 \cdot 3 \cdot 20 \quad \quad 120 = 3 \cdot 4 \cdot 10 \quad \quad 120 = 4 \cdot 5 \cdot 6$$
Die Faktoren, welche die Bedingungen der Aufgabenstellung erfüllen, lauten $(4, 5, 6)$. Die Summe dieser Zahlen beträgt folglich:
$$4 + 5 + 6 = 15$$
$\textbf{Antwort: C}$
Term: In einem mathematischen Ausdruck wird jede eigenständige Größe, die durch ein Plus- $(+)$ oder Minuszeichen $(-)$ von anderen getrennt wird, als Term bezeichnet. Ein Term kann isoliert stehen, als Produkt vorliegen, in Klammern eingeschlossen sein oder unter einem Bruchstrich bzw. einer Wurzel stehen. In folgendem Ausdruck:
$$3x^3 + 2x^2y – (2x+y) + \frac{x^2-1}{y+1} – \sqrt[3]{1-x^2}$$ sind die einzelnen Bestandteile
$$3x^3, \quad 2x^2y, \quad -(2x+y), \quad \frac{x^2-1}{y+1}, \quad \text{und} \quad -\sqrt[3]{1-x^2}$$ jeweils eigenständige Terme.
Endliche Summen aufeinanderfolgender Zahlen:
Bei arithmetischen Zahlenfolgen, bei denen die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist, lässt sich die Gesamtsumme der Glieder mit folgender Formel berechnen:
$$\text{Summe} = \frac{\textbf{(erstes Glied + letztes Glied)}}{2} \cdot \textbf{Anzahl der Glieder}$$ Die Anzahl der Glieder berechnet sich wiederum über:
$$\text{Anzahl der Glieder} = \frac{\textbf{(letztes Glied – erstes Glied)}}{\textbf{Differenz zweier Glieder}} + 1$$
Zur mathematischen Vereinfachung definieren wir: erstes Glied = $m$, letztes Glied = $n$, konstante Differenz = $k$, Anzahl der Glieder = $t$ und Gesamtsumme = $T$. Damit lauten die Formeln:
$$ \textbf{t} = \frac{\textbf{n – m}}{\textbf{k}} + 1 $$
$$ \textbf{T} = \frac{\textbf{(n + m)}}{\textbf{2}} \cdot \textbf{t} $$ Durch Zusammenführen ergibt sich ebenfalls:
$$ \textbf{T} = \frac{\textbf{(n + m)} \cdot \textbf{(n – m + k)}}{\textbf{2k}} $$
Beispiel:
Wir ermitteln, aus wie vielen Gliedern die Zahlenfolge $27, 29, 31, 33, \dots, 125$ besteht.
$$\text{Anzahl der Glieder} = \frac{125 – 27}{2} + 1 = 49 + 1 = 50 \text{ Glieder.}$$
Beispiel:
Wir berechnen den Wert der Summe: $T = 44 + 48 + 52 + \dots + 200$.
Da sämtliche Summanden Vielfache von 4 sind, klammern wir die Zahl 4 aus:
$$ T = 4 \cdot (11 + 12 + 13 + \dots + 50) $$ Für die innere Reihe gilt $m = 11$, $n = 50$ und $k = 1$. Einsetzen in die Summenformel liefert:
\[ T = 4 \cdot \frac{(50+11) \cdot (50-11+1)}{2 \cdot 1} = 4 \cdot \frac{61 \cdot 40}{2} = 4880 \\]
Herleitung wichtiger Standardformeln:
- Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen: $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + n$
\[ 1+2+3+4+\dots +n = \frac{(n+1)(n-1+1)}{2 \cdot 1} = \frac{n \cdot (n+1)}{2} \]
- Summe aufeinanderfolgender gerader Zahlen bis $2n$: $2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 2n$
\[ 2+4+6+8+\dots +2n = \frac{(2n+2)(2n-2+2)}{2 \cdot 2} = n \cdot (n+1) \]
- Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen bis $2n-1$: $1 + 3 + 5 + 7 + \dots + 2n-1$
\[ 1+3+5+7+\dots+2n-1 = \frac{(2n-1+1)(2n-1-1+2)}{2 \cdot 2} = n^2 \]
Zusammenfassend gelten für diese häufig genutzten arithmetischen Reihen folgende Beziehungen:
\[ \begin{aligned} &1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2} \\ &2 + 4 + 6 + 8 + \cdots + 2n = n(n + 1) \\ &1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + (2n – 1) = n^2 \end{aligned} \]
In diesen Formeln wird die Anzahl der Glieder ($n$) bestimmt, indem man das allgemeine Glied ($n$, $2n$ oder $2n-1$) mit dem tatsächlichen letzten Glied der jeweiligen Zahlenreihe gleichsetzt.
Ein Beispiel: Wenn $1+3+5+7+\dots+119=T$ gegeben ist, berechnen wir $T$. Wir bestimmen zunächst $n$ über das letzte Glied:
$$119 = 2n – 1 \implies 2n = 120 \implies n = 60$$ Der Wert für $T$ lautet folglich direkt:
$$T = 60^2 = 3600$$
- Unter der Bedingung $26+28+30+32+\dots+2n = 900$ bestimmen wir, aus wie vielen Gliedern die ursprüngliche Reihe besteht.
Fügen wir der Gleichung die fehlenden Anfangsglieder $2 + 4 + 6 + \dots + 24$ auf beiden Seiten hinzu, um die Standardformel nutzen zu können:
\[ 2 + 4 + 6 + \dots + 24 + 26 + 28 + \dots + 2n = (12 \cdot 13) + 900 \]
\[ n \cdot (n+1) = 156 + 900 = 1056 \]
Wegen $32 \cdot 33 = 1056$ erhalten wir $n = 32$. Die Gliederanzahl der gesuchten Reihe $26 + 28 + 30 + \dots + 2 \cdot 32$ lautet somit:
$$\text{Anzahl der Glieder} = \frac{64 – 26}{2} + 1 = 19 + 1 = 20 \text{ Glieder.}$$
- Wir berechnen den Wert der Reihe: $7 + 11 + 15 + 19 + \dots + 83$.
$$ 7 + 11 + 15 + 19 + \dots + 83 = \frac{(83+7) \cdot (83-7+4)}{(2 \cdot 4)} = \frac{90 \cdot 80}{8} = 900 $$
FRAGE 8
Die Summe der geraden natürlichen Zahlen zwischen 9 und 37 wird mit $a$ bezeichnet. Die Summe der geraden natürlichen Zahlen zwischen 39 und 75 wird mit $b$ bezeichnet. Die Gesamtsumme aller geraden natürlichen Zahlen zwischen 1 und 75 wird mit $x$ bezeichnet. Wie lautet der Ausdruck für $x$ in Abhängigkeit von $a$ und $b$?
$$ \textbf{A) } 20 + a + b \quad \textbf{B) } 58 + a + b \quad \textbf{C) } a + b – 20 \quad \textbf{D) } a + b – 58 \quad \textbf{E) } a + b – 38$$
Lösung:
Wir schreiben die vollständige Reihe für den Gesamtwert $x$ auf:
$$x = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + \dots + 36 + 38 + 40 + 42 + \dots + 74$$ Wir erkennen in diesem Gesamtausdruck vordefinierte Teilbereiche:
Der mittlere Teilabschnitt $10 + 12 + \dots + 36$ entspricht exakt der Summe $a$.
Der hintere Teilabschnitt $40 + 42 + \dots + 74$ entspricht exakt der Summe $b$.
Ersetzen wir diese Abschnitte durch die Variablen $a$ und $b$, verbleiben die restlichen konstanten Zahlenwerte:
$$x = (2 + 4 + 6 + 8) + a + 38 + b$$
$$x = 20 + a + 38 + b \implies x = 58 + a + b$$
$\textbf{Antwort: B}$