Stellenwert und Basis
Die Position einer Ziffer innerhalb einer Zahl wird als Stelle (Stellenwertziffer) bezeichnet, der Wert der Ziffer an dieser Position heißt Stellenwert, und die mathematische Struktur zur Darstellung dieser Werte in einem Zahlensystem wird als Basis bezeichnet.
\[r_0, \; r_1, \; r_2, \; r_3, \; \dots, \; r_{n-1}, \; r_n\]
Seien diese Variablen jeweils Ziffern und \(a\) die Basis des Zahlensystems. Die Stellenwerte einer \((n + 1)\)-stelligen Zahl \((r_n, r_{n-1},\dots, r_2, r_1, r_0)_a\) zur Basis \(a\) (im \(a\)-adischen Zahlensystem) sind wie folgt definiert:
$$ (r_n \; r_{n-1} \; \dots \; r_2 \; r_1 \; r_0)_a $$
$$
\begin{aligned}
&r_0 &\longrightarrow & a^0\text{-er Stelle (Einerstelle)} \\
&r_1 &\longrightarrow & a^1\text{-er Stelle} \\
&r_2 &\longrightarrow & a^2\text{-er Stelle} \\
&\ \ \vdots \\
&r_{n-1} &\longrightarrow & a^{n-1}\text{-er Stelle} \\
&r_n &\longrightarrow & a^n\text{-er Stelle} \\
\end{aligned}
$$
Die Darstellung der Zahl \([(r_n, r_{n-1}, \dots, r_2, r_1, r_0)_a]\) in der Form:
\[ r_n \cdot a^n + r_{n-1} \cdot a^{n-1} + \dots + r_2 \cdot a^2 + r_1 \cdot a^1 + r_0 \cdot a^0 \] nennt man die Bündelungskomponenten oder die erweiterte Form (Zahlendarstellung in Summenschreibweise) dieser Zahl.
Beispiel:
- Wir untersuchen die Zahl 1965 im Dezimalsystem (Basis 10).
\[ \begin{array}{c c c c} 1 & 9 & 6 & 5 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 10^3 & 10^2 & 10^1 & 10^0 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 10^3 \, \text{Tausenderstelle} & 10^2 \, \text{Hunderterstelle} & 10^1 \, \text{Zehnerstelle} & 10^0 \, \text{Einerstelle} \end{array} \]
In der Zahl 1965 beträgt der Stellenwert der Ziffer 1 Eintausend, der Stellenwert der Ziffer 9 Neunhundert, der Stellenwert der Ziffer 6 Sechzig und der Stellenwert der Ziffer 5 Fünf.
$$ 1965= 1\cdot10^3 + 9\cdot10^2 + 6\cdot10^1+ 5\cdot10^0$$
Beispiele:
- Die Summenschreibweise der Zahl \((3412)_5\)
\[(3412)_5 = 3 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0 \]
- Die Summenschreibweise der Zahl \((20000)_3\)
\[(20000)_3 = 2 \cdot 3^4\]
- Die Summenschreibweise der Dezimalzahl \((384,217)\)
\[ 384,217 = 3 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 2 \cdot 10^{-1} + 1 \cdot 10^{-2} + 7 \cdot 10^{-3} \]
Nach dem Komma sinken die Stellenwerte entsprechend den negativen Potenzen der Basis. Da in diesem Beispiel die Basis 10 verwendet wird, verringern sich die Werte um entsprechende Zehntelpotenzen.
- Die Summenschreibweise der Zahl \((432,21)_5\)
\[ (432,21)_5 = 4 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0 + 2 \cdot 5^{-1} + 1 \cdot 5^{-2} \]
Beispiele:
- Zweistellige Zahlen repräsentiert als \(ab\) und \(aa\)
\[ ab = 10 \cdot a + b \]
\[ aa = 10 \cdot a + a = 11 \cdot a \]
- Dreistellige Zahlen repräsentiert als \(abc\) und \(aaa\)
\[ abc = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c \] \[ aaa = 100 \cdot a + 10 \cdot a + a = 111 \cdot a \] Diese werden analog wie oben gezeigt zerlegt.
Hinweis: Bei rechnerischen Operationen mit den Ziffern einer Zahl müssen die Stellenwerte der Ziffern stets berücksichtigt werden. Wenn beispielsweise der Ziffernwert an der Zehnerstelle einer Zahl um 3 erhöht wird, erhöht sich der Gesamtwert der Zahl um \(3 \times 10 = 30\). Wird der Ziffernwert an der Hunderterstelle um 5 verringert, sinkt der Gesamtwert der Zahl um \(5 \times 100 = 500\). Wenn die Zehnerziffer um 7 erhöht und die Einerziffer um 3 verringert wird, ändert sich der Gesamtwert um \(7 \times 10 – 3 \times 1 = 67\).
Beispiel:
Wenn man die Ziffern einer zweistelligen Zahl vertauscht, erhöht sich der Wert dieser Zahl um 63. Bestimmen Sie den Absolutbetrag der Differenz der Ziffern dieser Zahl.
Die gesuchte zweistellige Zahl sei \(ab\). Durch das Vertauschen der Ziffern erhalten wir die Zahl \(ba\). Da der Wert der Zahl hierbei um 63 steigt, gilt:
\[
\begin{align}
ba &= ab + 63 \\
\Rightarrow 10 \cdot b + a &= 10 \cdot a + b + 63 \\
\Rightarrow 9 \cdot |b – a| &= 63 \\
|b – a| &= 7
\end{align}
\]
Beispiel:
Addiert man eine zweistellige Zahl \(ab\) zu der Zahl, die durch Vertauschen ihrer Ziffern entsteht, so beträgt das Ergebnis 99. Bestimmen Sie den maximal möglichen Wert der Zahl \(ab\).
\[ \begin{align} ab + ba &= 99 \Rightarrow 10 \cdot a + b + 10 \cdot b + a = 99 \\ \Rightarrow 11 \cdot (a + b) &= 99 \\ \Rightarrow a + b &= 9 \end{align} \]
Da \(ab\) maximal sein soll, muss die Zehnerziffer \(a\) den größtmöglichen Wert annehmen. Aus \(a + b = 9\) folgt mit \(a = 9\) und \(b = 0\), dass die umgekehrte Zahl \(ba\) die Ziffernfolge \(09\) hätte, was keine gültige zweistellige Zahl darstellt. Setzt man stattdessen \(a = 8\) und \(b = 1\), erhält man den maximalen Wert für \(ab\), welcher \(81\) lautet.
Aufgabe 14:
Die Summe von vier verschiedenen dreistelligen natürlichen Zahlen, die jeweils aus paarweise verschiedenen Ziffern bestehen, beträgt 768. Wie groß kann die größte dieser Zahlen maximal sein?
\[ \text{A) } 458 \quad \text{B) } 459 \quad \text{C) } 460 \quad \text{D) } 461 \quad \text{E) } 462 \]
Lösung:
Um die größtmögliche Zahl zu erhalten, müssen die anderen drei Zahlen so klein wie möglich gewählt werden. Da die Ziffern jeder Zahl und auch die Zahlen selbst voneinander verschieden sein müssen, wählen wir als die drei kleinsten Zahlen \(102\), \(103\) und \(104\):
\[ text{Größtmögliche Zahl} = 768 – (102 + 103 + 104) \]
\[ = 459 \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 15:
Wenn bei einer vierstelligen Zahl \(abcd\) die Zehnerziffer und die Tausenderziffer miteinander vertauscht werden, erhöht sich der Wert der Zahl um 5940. Wie groß ist demnach die Differenz \(c – a\)?
\[ \text{A) } 3 \quad \text{B) } 4 \quad \text{C) } 5 \quad \text{D) } 6 \quad \text{E) } 7 \]
Lösung:
\[\text{Da } cbad = abcd + 5940,\] ergibt das Auflösen und Zusammenfassen der Stellenwerte auf beiden Seiten der Gleichung:
\[ \begin{aligned} 990 \cdot (c – a) &= 5940 \\
\Rightarrow c – a &= 6
\end{aligned}
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 16:
Hängt man an eine dreistellige Zahl dieselbe Zahl noch einmal hinten an, entsteht eine neue sechsstellige Zahl. Um das Wievielfache ist die neue Zahl größer als die ursprüngliche Zahl?
\[ \text{A) } 99 \quad \text{B) } 100 \quad \text{C) } 101 \quad \text{D) } 1000 \quad \text{E) } 1001 \]
Lösung:
Seien die beiden besprochenen Zahlen \(abc\) und \(abcabc\).
\[\begin{aligned}
&abcabc – abc = x \cdot abc \\
&\Rightarrow abc000 = x \cdot abc \\
&\Rightarrow x = 1000 \quad \text{mal größer.}
\end{aligned}
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 17:
\(a\), \(b\) und \(c\) sind voneinander verschiedene Ziffern.
\[
\begin{array}{r}
\text{abc} \\
\text{bca} \\
+ \text{cab} \\
\hline 2109
\end{array}
\]
Bestimmen Sie anhand der obigen schriftlichen Addition die Summe \(a + b + c\).
\[ \text{A) } 9 \quad \text{B) } 10 \quad \text{C) } 19 \quad \text{D) } 20 \quad \text{E) } 21 \]
Lösung:
Wenn wir die gegebenen dreistelligen Zahlen in ihre Stellenwerte zerlegen, erhalten wir:
\[
\begin{array}{r}
100\cdot a + 10\cdot b + c \\
100\cdot b + 10\cdot c + a \\
+ 100\cdot c + 10\cdot a + b \\
\hline 111 \cdot (a + b + c)
\end{array}
\]
\[
\begin{aligned}
&111 \cdot (a + b + c) = 2109 \\
\\
&\Rightarrow a + b + c = \dfrac{2109}{111} = 19
\end{aligned}\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 18:
Jeder Punkt sowie die Buchstaben \(a\), \(b\) und \(c\) stehen für jeweils eine Ziffer:
\[ \begin{array}{c@{}c}
\;\;\;\;ab\\
\times\;\;6c\\
\hline
\;\;…\\
+450\;\;\;\;\\
\hline
\;\;4725\\\
\end{array} \]
Wie groß ist demnach die Summe \(a + b + c\)?
\[ \text{A) } 14 \quad \text{B) } 15 \quad \text{C) } 16 \quad \text{D) } 27 \quad \text{E) } 28 \]
Lösung:
Da das Produkt des ersten Faktors \(ab\) mit \(6\) gleich \(450\) ist, gilt:
\[ 6 \cdot ab = 450 \Rightarrow ab = 75 \]
Wir setzen dies in das Schema ein:
\[ \begin{array}{c@{}c}
\;\;\;\;75 & \quad \text{I. Faktor} \\
\times\;\;\;6c &\quad \text{II. Faktor} \\
\hline
\;\;xyz\\
+\;\;450\;\;\;\;\\
\hline
\;\;4725\\\
\end{array} \]
\[
\begin{array}{c@{}c}
\;\;\;\;xyz& \\
+\;\;4500 &\\
\hline
\;\;\;\;4725\\
\\
\\
xyz = 4725 – 4500 \Rightarrow xyz = 225 \\
\text{Da } 75 \cdot c = xyz = 225 \Rightarrow c = \dfrac{225}{75} \Rightarrow c = 3 \\
Aus \quad ab = 75 \quad \text{folgt} \quad a = 7 \quad \text{und} \quad b = 5. \\
\text{Daraus ergibt sich } \quad a + b + c = 7 + 5 + 3 = 15.
\end{array}
\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 19:
\(xyz\) ist eine dreistellige natürliche Zahl. Wie groß ist die Summe aller ungeraden Zahlen, die unter den Bedingungen \(x = y + 2\) und \(y = z + 2\) gebildet werden können?
\[
\text{A) 2159} \quad \text{B) 2259} \quad \text{C) 2616} \quad \text{D) 2915} \quad \text{E) 3210}
\]
Lösung:
Unter den gegebenen Bedingungen hängen die Ziffern \(x\) und \(y\) von den Werten ab, die wir für \(z\) wählen können. Da die Gesamtzahl ungerade sein muss, muss auch \(z\) eine ungerade Ziffer sein. Wenn wir für \(z\) die zulässigen ungeraden Werte einsetzen (\(1, 3\) und \(5\), da größere Werte dazu führen würden, dass \(x\) und \(y\) keine einstelligen Ziffern mehr sind), erhalten wir folgende Zahlen und deren Summe:
\[
531 + 753 + 975 = 2259
\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 20:
Unter der Voraussetzung \(a \neq b\), wobei \(abb\) und \(baa\) dreistellige natürliche Zahlen sind, welchen Wert hat der Bruch \(\dfrac{abb – baa}{b – a}\)?
\[\text{A) 89 \quad B) -89 \quad C) 91 \quad D) -91 \quad E) 101}\]
Lösung:
\[
\frac{abb – baa}{b – a} = \frac{(100a + 10b + b) – (100b + 10a + a)}{b – a} \\
= \frac{89a – 89b}{b – a} \\
= \frac{89 \cdot (a – b)}{b – a} = 89 \times \frac{a – b}{b – a} = -89
\]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 21:
Seien \(2mn4\) und \(1mn7\) zwei vierstellige natürliche Zahlen. Berechnen Sie das Ergebnis der folgenden Subtraktion:
\[ \begin{array}{r} 2mn4 \\ – 1mn7 \\ \hline \cdots \end{array} \]
\[\text{A) 1004 \quad B) 1003 \quad C) 997 \quad D) 907 \quad E) 903}\]
Lösung:
Wenn wir die gegebenen Zahlen in ihre Stellenwerte auflösen und subtrahieren, heben sich die Variablen auf:
\[ \begin{array}{r} (2000 + 100m + 10n + 4) \\ – (1000 + 100m + 10n + 7) \\ \hline 1000 – 3 = 997 \end{array} \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 22:
\(a\) und \(b\) sind Ziffern.
\[ \begin{array}{r} ab3 \\ – ab \\ \hline 408 \end{array} \]
Wie groß ist demnach das Produkt \(a \cdot b\)?
\[\text{A) 15 \quad B) 18 \quad C) 20 \quad D) 24 \quad E) 25}\]
Lösung:
1. Weg
Wenn wir die Zahlen anhand ihrer Stellenwerte zerlegen und die Subtraktion durchführen:
\[
\begin{array}{l}
100\cdot a + 10\cdot b + 3 – (10\cdot a + b) = 408\\
\Rightarrow 90\cdot a + 9\cdot b = 405 \\
\Rightarrow 9\cdot (10\cdot a + b) = 405\\
\Rightarrow ab = 45 \\
\text{Daraus folgt: } a = 4, \quad b = 5 \quad \text{und} \quad a \cdot b = 20.
\end{array}
\]
2. Weg
\[ \begin{array}{l} ab3 \\ – ab \\ \hline 408 \end{array} \]
Betrachtet man die Einerstelle, so sieht man, dass \(b\) größer als 3 sein muss. Da man 3 nicht von \(b\) abziehen kann, ohne im Minus zu landen, leihen wir uns eine 1 von der Zehnerstelle \(b\). Der Einer wird somit zu 13 erweitert. Aus der Rechnung \(13 – b = 8\) folgt direkt \(b = 5\). Betrachten wir nun die Zehnerstelle: Da eine 1 übertragen (geliehen) wurde, verbleibt dort der Wert \((b – 1)\). Aus der Gleichung \((b – 1) – a = 0\) folgt mit \(5 – 1 = a = 4\).
Daraus ergibt sich das Produkt \(a \cdot b = 20\).
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 23:
Ein Schüler sollte das Produkt aus einer dreistelligen Zahl und 75 berechnen. Er erhielt als Ergebnis 8850. Die Lehrkraft überprüfte die Rechnung und stellte fest, dass der Schüler die Zehnerziffer 7 der dreistelligen Zahl fälschlicherweise als eine 1 gelesen und berechnet hatte.
Wie lautet das korrekte Ergebnis dieser Multiplikation?
\[\text{A) 9300 \quad B) 9750 \quad C) 10500 \quad D) 11400 \quad E) 13350}\]
Lösung:
1. Weg
Da der Schüler die Zehnerziffer fälschlicherweise als 1 statt als 7 gelesen hat, ist sein Ergebnis um folgendes Defizit kleiner als das wahre Ergebnis:
\[
\begin{array}{l}
(7 – 1) \cdot 10 \cdot 75 = 4500 \\
\text{Das korrekte Ergebnis lautet somit:} \\
8850 + 4500 = 13350.
\end{array}
\]
2. Weg
Die vom Schüler falsch gelesene dreistellige Zahl sei \(x\). Die vom Schüler durchgeführte Rechnung lautet:
$$x \cdot 75 = 8850 \quad \Rightarrow \quad x = 118.$$
Da die Zehnerziffer fälschlicherweise als 1 statt als 7 gelesen wurde, lautet die ursprüngliche korrekte Zahl 178. Das richtige Ergebnis ist somit:
$$178 \cdot 75 = 13350.$$
\(\textbf{Antwort: E} \)
Hinweis:
- Wobei a die Basis des Zahlensystems darstellt und x, y sowie z die Ziffern in diesem System zur Basis a sind:
Der Ausdruck \((xyz)_a\) stellt eine dreistellige Zahl im Stellenwertsystem zur Basis \(a\) dar. Die Basis \(a\) muss stets eine ganze Zahl größer als 1 sein und ist strikt größer als jede der einzelnen Ziffernkomponenten (\(a > x\), \(a > y\) und \(a > z\)).
- Das Zahlensystem mit der kleinstmöglichen ganzzahligen Basis ist das Dualsystem (Basis 2).
- In einem Zahlensystem zur Basis a existieren genau a verschiedene Ziffern, wobei die größte Ziffer den Wert a – 1 besitzt.
- Bei Zahlen, die im gewöhnlichen Dezimalsystem (Basis 10) geschrieben werden, wird die Basis in der Notation weggelassen.
Beispiel:
- Ziffernmenge im Dualsystem (Basis 2): \(\{0, 1\}\)
- Ziffernmenge im Quinärsystem (Basis 5): \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\)
- Ziffernmenge im Dezimalsystem (Basis 10): \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
- Ziffernmenge im Duodezimalsystem (Basis 12): \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B\}\), wobei die alphanumerische Ziffer A den Wert 10 und B den Wert 11 repräsentiert.