Teilbarkeit, Division mit Rest und deren Eigenschaften

Es seien $B \neq 0$ und $A$, $B$, $C$, $K$ ganze Zahlen. Bei einer klassischen Division mit Rest gilt folgende Anordnung:

\[
\begin{array}{c|c}
\begin{array}{c} A \\
_\_\quad \vdots \\
\hline
K
\end{array} &
\begin{array}{c}
\quad B \\
\hline \\ C
\end{array}
\end{array} \]

Dabei bezeichnet man:

$A$ als den Dividenden (bölünen),
$B$ als den Divisor / Teiler (bölen),
$C$ als den Quotienten (bölüm),
$K$ als den Rest (kalan).

Hierbei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Die Gleichung $A = B \cdot C + K$ wird als Divisionsidentität (Gleichung des Divisionsalgorithmus) bezeichnet.
Der Rest ist immer kleiner als der Divisor ($K < B$). Zudem ist er nie negativ ($K \ge 0$).
Wenn $K = 0$ gilt, ist $A$ ohne Rest durch $B$ teilbar.
Wenn der Rest zusätzlich kleiner als der Quotient ist ($K < C$), kann man den Divisor und den Quotienten miteinander vertauschen, ohne dass sich der Rest ändert. Gilt also $K < B$ und $K < C$, so folgt:

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &A \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad K \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad B \\
\hline
\quad C
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve \;\; \;\; \;\; \;\; \;\;
\end{array}
\begin{array}{C}
\quad &A \;\;\\
-\quad &\vdots \;\; \\
\hline
&\quad K \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad C \\
\hline
\quad B
\\
\\
\end{array}
\end{array} \]

Beispiel:

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &230 \;\;\\
-\quad &221 \;\; \\
\hline
&\quad 9 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 13 \\
\hline
\quad 17
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad
230=13\cdot17+9
\end{array}
\end{array} \]

\[
\begin{array}{c,@{\hspace{2cm}}c,c,c}
\begin{array}{c}
\quad &230 \;\;\\
-\quad &221 \;\; \\
\hline
&\quad 9 \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 17 \\
\hline
\quad 13
\\
\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad ve
\end{array}
\begin{array}{c}
\quad
230=17\cdot13+9
\end{array}
\end{array} \]

Da der Rest (9) kleiner als der Divisor (13) und auch kleiner als der Quotient (17) ist, bleibt der Rest beim Vertauschen von Divisor und Quotient unverändert.

Beispielaufgabe:

\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad 134 \;\;\\
-\quad \vdots \;\; \\
\hline
\quad K \;\;
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad A \\
\hline
\quad 11
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

In der obigen Divisionsaufgabe gilt $K < 11$. Bestimmen Sie die Summe $A + K$

Lösung:

Da der Rest $K$ kleiner als der Quotient 11 ist ($K < 11$), dürfen wir Divisor und Quotient miteinander vertauschen. Wenn wir 134 durch 11 teilen, erhalten wir:

\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad 134 \;\;\\
-\quad 132 \;\;\;\; \\
\hline
\;\;\quad 2 \rightarrow K \\
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 11 \\
\hline
\quad 12 \rightarrow A
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]

Daraus ergibt sich direkt $A = 12$ und $K = 2$. Die gesuchte Summe lautet somit:
\[ A + K = 12 + 2 = 14 \]

Eigenschaften des Restes:

1. Wenn eine Zahl $A$ bei Division durch $x$ den Rest $a$ und eine Zahl $B$ bei Division durch $x$ den Rest $b$ lässt, dann gilt:

a) Die Summe $A + B$ lässt bei Division durch $x$ denselben Rest wie die Summe der Reste $(a + b) \div x$.

b) Das Produkt $A \cdot B$ lässt bei Division durch $x$ denselben Rest wie das Produkt der Reste $(a \cdot b) \div x$.

Hinweis: Wenn bei diesen Operationen der Wert von $(a + b)$ oder $(a \cdot b)$ größer oder gleich $x$ wird, teilt man dieses Zwischenergebnis einfach erneut durch $x$, um den finalen Rest zu bestimmen.

Beispiele:

Wir bestimmen den Rest der Summe und des Produkts der Zahlen $2357984$ und $1996$ bei Division durch 9.

Zuerst ermitteln wir die Einzelreste mittels der Quersummenregel für 9:
Für $A = 2357984 \rightarrow 2+3+5+7+9+8+4 = 38 \rightarrow 3+8 = 11 \rightarrow 1+1 = 2$. Also ist $a = 2$.
Für $B = 1996 \rightarrow 1+9+9+6 = 25 \rightarrow 2+5 = 7$. Also ist $b = 7$.

Summe ($A+B$): Die Summe der Reste ergibt $a + b = 2 + 7 = 9$. Da 9 gleich dem Divisor ist, teilen wir erneut durch 9: $9 \div 9$ ergibt den Rest 0.

Produkt ($A \cdot B$): Das Produkt der Reste ergibt $a \cdot b = 2 \cdot 7 = 14$. Wir teilen 14 durch 9 ($14 \div 9$), was einen finalen Rest von 5 liefert.

Uğur packt seine Bonbons in 7er-Gruppen ab und es bleiben 5 Bonbons übrig. Seine Schwester Melek packt ihre Bonbons ebenfalls in 7er-Gruppen ab und es bleiben 4 Bonbons übrig. Uğur gibt all seine Bonbons an Melek. Wie viele Bonbons bleiben übrig, wenn Melek nun alle Bonbons zusammen in 7er-Gruppen abpackt?

Wenn Melek die Bonbons zusammenlegt, addieren sich die Reste: $5 + 4 = 9$. Da 9 größer als der Teiler 7 ist, rechnen wir $9 \div 7$. Dabei bleibt ein Rest von 2. Im Endergebnis bleiben also 2 Bonbons übrig.

2. Wenn eine Zahl $A$ durch das Produkt $x \cdot y$ teilbar ist, dann ist sie auch einzeln durch $x$ und durch $y$ teilbar. Der Umkehrschluss ist jedoch nicht immer wahr: Wenn $A$ sowohl durch $x$ als auch durch $y$ teilbar ist, muss $A$ nicht zwingend durch das Produkt $x \cdot y$ teilbar sein. In diesem Fall ist $A$ jedoch sicher durch das kleinste gemeinsame Vielfache ($\text{kgV}$) von $x$ und $y$ teilbar. Es gilt also:

\[
\frac{A}{x \cdot y} \in \mathbb{Z} \implies \frac{A}{x} \in \mathbb{Z} \quad \text{und} \quad \frac{A}{y} \in \mathbb{Z}
\]

Aber umgekehrt:

\[
\frac{A}{x} \in \mathbb{Z} \quad \text{und} \quad \frac{A}{y} \in \mathbb{Z} \implies \frac{A}{x \cdot y} \in \mathbb{Z} \quad \text{(Nicht immer wahr)}
\]
\[
\frac{A}{x} \in \mathbb{Z} \quad \text{und} \quad \frac{A}{y} \in \mathbb{Z} \implies \frac{A}{\text{kgV}(x, y)} \in \mathbb{Z} \quad \text{(Immer wahr)}
\]

Beispiel:

Die Zahl 320 ist durch 80 teilbar. Folglich ist sie auch durch alle Teiler von 80 teilbar.

Betrachten wir das Gegenbeispiel zur Umkehrung: Die Zahl 320 ist durch 32 teilbar und ebenfalls durch 20 teilbar. Sie ist jedoch nicht durch deren Produkt $32 \cdot 20 = 640$ teilbar (da 32 und 20 nicht teilerfremd sind). Da aber $\text{kgV}(32, 20) = 160$ ist, ist die Zahl 320 einwandfrei ohne Rest durch 160 teilbar.