Mathematische Strukturen

 

Eine nichtleere Menge zusammen mit einer oder mehreren darauf definierten Verknüpfungen wird als mathematische Struktur (oder algebraische Struktur) bezeichnet.

Beispielsweise bildet die Menge der ganzen Zahlen mit den Verknüpfungen $+$ und $\cdot$

\[
(\mathbb{Z}, +, \cdot)
\]

eine mathematische Struktur.

Gruppen:

 

Gegeben sei eine nichtleere Menge $A$ und eine auf $A$ definierte binäre Verknüpfung $\star$.

Das System $(A, \star)$ heißt Gruppe, wenn die folgenden vier Gruppenaxiome erfüllt sind:
1) $A$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen (Abgeschlossenheit),
2) Für die Verknüpfung $\star$ gilt auf $A$ das Assoziativgesetz (Assoziativität),
3) Es existiert ein neutrales Element in $A$ bezüglich der Verknüpfung $\star$,
4) Zu jedem Element in $A$ existiert ein inverses Element bezüglich der Verknüpfung $\star$.

Wenn für das System $(A, \star)$ zusätzlich das Kommutativgesetz bezüglich der Verknüpfung $\star$ gilt, spricht man von einer abelschen Gruppe (oder kommutativen Gruppe).

 

Beispiel:

 

Wir erstellen die Verknüpfungstabelle (Cayley-Tabelle) für die Addition auf der Restklassenmenge modulo 5, $\mathbb{Z} / 5\mathbb{Z} = \{ 0, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4} \}$.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
+ & 0 & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} \\
\hline
0 & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} \\
\overline{1} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{0} \\
\overline{2} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{1} \\
\overline{3} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} \\
\overline{4} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} \\
\end{array}
\]

Da für die Verknüpfung $+$ auf der Menge $\mathbb{Z} / 5\mathbb{Z}$ die Eigenschaften:

1) Abgeschlossenheit,
2) Kommutativität,
3) Assoziativität,
4) Existenz eines neutralen Elements,
5) Existenz invenser Elemente

erfüllt sind, ist die Struktur $(\mathbb{Z} / 5\mathbb{Z}, +)$ eine abelsche Gruppe.

 

Beispiel:

 

Symmetrietransformationen eines Dreiecks:

1. Identische Abbildung (Drehung um 0°)
2. Drehung des Dreiecks gegen den Uhrzeigersinn um 120°
3. Drehung des Dreiecks gegen den Uhrzeigersinn um 240°

Jede dieser Abbildungen kann als ein Element einer Symmetriegruppe aufgefasst werden.

Der Schwerpunkt des gleichseitigen Dreiecks $ABC$ sei $G$.

Die Ausgangslage des Dreiecks sei $I = (ABC)$, die Drehung um $120^\circ$ um den Punkt $G$ in Pfeilrichtung sei $II = (CAB)$ und die darauf folgende weitere Drehung um $120^\circ$ sei $III = (BCA)$. Als Verknüpfung $\star$ definieren wir die Hintereinanderausführung einer $120^\circ$-Drehung.

Hierbei gilt:

\[
II \star III = I
\]

Dies bedeutet die Komposition der Abbildungen (1 Drehung + 2 Drehungen = 3 Drehungen $\Rightarrow$ 0 Drehungen).

Wir stellen die Verknüpfungstabelle auf der Menge $A = \{ I, II, III \}$ auf:

\[
\begin{array}{c|ccc}
\star & I & II & III \\
\hline
I & I & II & III \\
II & II & III & I \\
III & III & I & II \\
\end{array}
\]

Da die auf der Menge $A$ definierte Verknüpfung $\star$ die Axiome der Abgeschlossenheit, Kommutativität, Assoziativität sowie die Existenz eines neutralen und der inversen Elemente erfüllt, bildet das System $(A, \star)$ eine abelsche Gruppe.

 

Beispiel:

 

Das System $(A, \circ)$ sei eine Gruppe. Für $a, b, c, x \in A$ bestimmen wir das Element $x$ aus der Gleichung:

\[
a \circ b \circ x = c
\]

Da $(A, \circ)$ eine Gruppe ist, besitzt die Verknüpfung $\circ$ die Eigenschaft der Assoziativität und jedes Element ist invertierbar.

\[
a \circ b \circ x = c \Rightarrow a^{-1} \circ a \circ b \circ x = a^{-1} \circ c
\]

\[
\Rightarrow e \circ b \circ x = a^{-1} \circ c \quad \text{ (wobei } e \text{ das neutrale Element bezeichnet)}
\]

\[
\Rightarrow b \circ x = a^{-1} \circ c
\]

\[
\Rightarrow b^{-1} \circ b \circ x = b^{-1} \circ a^{-1} \circ c
\]

\[
\Rightarrow e \circ x = b^{-1} \circ a^{-1} \circ c
\]

\[
\Rightarrow x = b^{-1} \circ a^{-1} \circ c
\]

Damit ist die Variable eindeutig bestimmt.

 

Hinweis:

 

1) Wenn $(A, \star)$ eine Gruppe ist, gilt für alle $x, y \in A$:

\[
(x \star y)^{-1} = y^{-1} \star x^{-1}
\]

2) In der Verknüpfungstabelle einer Gruppe (lateinisches Quadrat) tritt jedes Element in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal auf.

 

Beispiel:

 

Gegeben sei die Menge

\[
A = \{ 1, 2, 3, 4 \}
\]

und das System

\[
(A, \star) \text{ sei eine abelsche Gruppe.}
\]

Wir bestimmen die Elemente, die anstelle der Variablen $a$, $b$ und $c$ stehen müssen.

\[
\begin{array}{c|cccc}
\star & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 1 \\
2 & 3 & a & b & 2 \\
3 & 4 & 1 & 2 & 3 \\
4 & 1 & 2 & 3 & c \\
\end{array}
\]

Da $(A, \star)$ eine abelsche Gruppe ist, darf jedes Element in jeder Spalte und Zeile nur einmal vorkommen. Aus der Betrachtung der zweiten und dritten Spalte folgt unmittelbar:

\[
a = 4, \quad b = 1
\]

In der vierten Zeile (bzw. vierten Spalte) fehlt das Element 4. Folglich gilt:

\[
c = 4
\]

 

Ringe:

 

Gegeben sei eine nichtleere Menge $A$ mit zwei auf $A$ definierten Verknüpfungen $\Delta$ und $\star$.

Das System $(A, \Delta, \star)$ heißt Ring, wenn gilt:
1) Das System $(A, \Delta)$ ist eine abelsche Gruppe,
2) Die Menge $A$ ist bezüglich der Verknüpfung $\star$ abgeschlossen,
3) Für die Verknüpfung $\star$ gilt auf $A$ das Assoziativgesetz,
4) Die Verknüpfung $\star$ ist bezüglich der Verknüpfung $\Delta$ distributiv (Links- und Rechtsdistributivität).

Besitzt die Verknüpfung $\star$ ein neutrales Element (Einselement), so nennt man das System $(A, \Delta, \star)$ einen Ring mit Eins (oder unitären Ring).

 

Körper:

 

Gegeben sei eine nichtleere Menge $A$ mit zwei auf $A$ definierten Verknüpfungen $\Delta$ und $\star$.

Das System $(A, \Delta, \star)$ wird als Körper bezeichnet, wenn:
1) Das System $(A, \Delta, \star)$ ein kommutativer Ring mit Eins ist,
2) Das System $(A – \{0\}, \star)$ eine abelsche Gruppe bildet, wobei $0$ das neutrale Element der Verknüpfung $\Delta$ darstellt.

 

Beispiel:

 

Wir erstellen die Verknüpfungstabellen für die Addition „ + “ und die Multiplikation „ $\cdot$ “ auf dem Restklassenkörper modulo 5, $\mathbb{Z} / 5\mathbb{Z} = \{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4} \}$.

\[
\begin{array}{c|ccccc}
+ & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} \\
\hline
\overline{0} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} \\
\overline{1} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline;{4} & \overline{0} \\
\overline{2} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{1} \\
\overline{3} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} \\
\overline{4} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c|ccccc}
\cdot & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} \\
\hline
\overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} \\
\overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} \\
\overline{2} & \overline{0} & \overline{2} & \overline{4} & \overline{1} & \overline{3} \\
\overline{3} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{1} & \overline{4} & \overline{2} \\
\overline{4} & \overline{0} & \overline{4} & \overline{3} & \overline{2} & \overline{1} \\
\end{array}
\]

Das System $(\mathbb{Z} / 5\mathbb{Z}, +)$ ist eine abelsche Gruppe,

die Menge $A$ ist bezüglich der Verknüpfung „ $\cdot$ “ abgeschlossen,

die Verknüpfung „ $\cdot$ “ ist assoziativ auf $A$,

die Verknüpfung „ $\cdot$ “ ist distributiv über der Verknüpfung „ + “,

es existiert ein neutrales Element bezüglich der Verknüpfung „ $\cdot$ “.

Folglich ist das System $(A, +, \cdot)$ ein Ring mit Eins.

Da zudem das System \( (\mathbb{Z} / 5\mathbb{Z} – \{\overline{0}\}, \cdot) \) eine abelsche Gruppe bildet, handelt es sich bei dem System $(A, +, \cdot)$ um einen Körper.

 

 

 

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