Darstellung einer Zahl von einer beliebigen Basis in das Dezimalsystem (Basis 10)
Der Wert einer Zahl in einer beliebigen Basis im Dezimalsystem (Basis 10) wird durch das Ausrechnen ihrer Stellenwertkomponenten (Bündelungskomponenten) ermittelt.
Wir bestimmen die Entsprechungen der Zahlen $(118)_9$, $(1034)_5$, $(21203)_4$ und $(101101)_2$ im Dezimalsystem.
\[ (118)_9 = 1\cdot 9^2+ 1\cdot 9^1 + 8\cdot 9^0 =98 \]
\[ (1034)_5 = 1\cdot 5^3+ 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 4\cdot 5^0 =144 \]
\[ (21203)_4 = 2\cdot 4^4+ 1\cdot 4^3 + 2\cdot 4^2+0\cdot 4^1+3\cdot 4^0 =611 \]
\[ (101101)_2 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0= 45 \]
Wir bestimmen die Entsprechungen der Kommazahlen $(110,01)_2$ und $(123,21)_4$ im Dezimalsystem.
\[ (110,01)_2 = 1\cdot 2^2+ 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 + 0\cdot 2^{-1}+ 1\cdot 2^{-2}= 4+2+\dfrac{1}{4}=\dfrac{25}{4}=6,25 \]
\[ (123,21)_4 = 1\cdot 4^2+ 2\cdot 4^1 + 3\cdot 4^0 + 2\cdot 4^{-1}+ 1\cdot 4^{-2}= 27+\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{16}= 27,5625 \]
Aufgabe 24:
Wenn $x$ die Basis des Zahlensystems darstellt und $(132)_x=42$ gilt, wie groß ist dann $x$?
\[\text{A) } 8 \quad \text{B) } 7 \quad \text{C) } 6 \quad \text{D) } 5 \quad \text{E) } 4\]
Lösung:
\[
\begin{array}{l}
(132)_x=42\\
\\
\Rightarrow 1\cdot x^2 + 3\cdot x^1 + 2\cdot x^0 =42\\
\Rightarrow x^2 + 3x – 40 = 0\\
\Rightarrow (x-5)\cdot(x+8)=0\\
\Rightarrow x-5=0 \quad \text{oder} \quad x+8 = 0 \\
\Rightarrow x= 5 \quad \text{oder} \quad x=-8\\
\\
\text{Da } x \text{ eine Basis ist, gilt: } x=5.
\end{array}
\]
Antwort: B
Aufgabe 25:
Wenn $x$ die Basis des Zahlensystems darstellt und $(43)_x+(36)_x=(101)_x$ gilt, wie groß ist dann $x$?
\[\text{A) 7 \quad B) 8 \quad C) 9 \quad D) 10 \quad E) 11}\]
Lösung:
\[
\begin{array}{l}
\Rightarrow (4x^1+3) + (3x^1+6)= (x^2+x^1\cdot0+1)\\
\Rightarrow x^2-7x-8=0\\
\Rightarrow (x-8)\cdot (x+1)=0\\
\text{Daraus folgt } x=8 \quad \text{oder} \quad x=-1\\
\text{Da } x \text{ eine Basis sein muss, gilt } x = 8.
\end{array}
\]
Antwort: B
Gerade und ungerade Zahlen in Zahlensystemen
Für eine $(n + 1)$-stellige Zahl $R = (r_n r_{n-1} \dots r_2 r_1 r_0)_a$ zur Basis $a$ gilt:
- Wenn die Basis $a$ eine gerade Zahl ist: Ist die letzte Ziffer $r_0$ gerade, ist auch $R$ gerade. Ist $r_0$ ungerade, ist auch $R$ ungerade.
- Wenn die Basis $a$ eine ungerade Zahl ist: Ist die Ziffernsumme $(r_0 + r_1 + r_2 + \dots + r_n)$ ungerade, so ist $R$ ungerade. Ist die Summe gerade, so ist $R$ gerade.
Beispiele:
- Die Zahlen $(10010)_2$, $(3214)_6$ und $(12302)_4$ sind gerade.
- Die Zahlen $(101001)_2$, $(43213)_6$ und $(30221)_4$ sind ungerade.
- Da die Ziffernsumme $1+2+1+4 = 8$ eine gerade Zahl ist, ist die Zahl $(1214)_5$ gerade. Da $1 + 0 + 2 = 3$ ungerade ist, ist die Zahl $(102)_3$ ungerade.
Darstellung einer Zahl aus dem Dezimalsystem (Basis 10) in einer beliebigen Basis
Um eine Zahl aus dem Dezimalsystem in eine andere Basis umzurechnen, wird die gegebene Zahl fortlaufend durch die Zielbasis dividiert. Wenn der resultierende Quotient nicht kleiner als die Zielbasis ist, wird er erneut dividiert. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt, bis ein Quotient erreicht wird, der kleiner als die Zielbasis ist.
Sobald dieser letzte Quotient erreicht ist, bilden dieser Quotient und die in den vorherigen Schritten ermittelten Reste – beginnend vom letzten bis zum ersten Schritt rückwärts gelesen – die Ziffern der Zahl in der neuen Basis.
Beispiel:
Wir bestimmen die Darstellung der Zahl 124 in der Basis 4. Ergebnis: $124 = (1330)_4$
\[
\begin{array}{l}
\text{1. Schritt: } 124 \div 4 = 31 \quad \text{Rest: } 0 \\
\text{2. Schritt: } 31 \div 4 = 7 \quad \text{Rest: } 3 \\
\text{3. Schritt: } 7 \div 4 = 1 \quad \text{Rest: } 3 \\
\text{4. Schritt: } 1 \div 4 = 0 \quad \text{Rest: } 1 \\
\text{Wenn man die Reste von unten nach oben (rückwärts) aufschreibt:} \\
\text{Ergebnis: } 124_{10} = (1330)_4
\end{array}
\]
Beispiel:
Wir bestimmen die Darstellung der Zahl 11 in der Basis 2.
\[
\begin{array}{l}
\text{1. Schritt: } 11 \div 2 = 5 \quad \text{Rest: } 1 \\
\text{2. Schritt: } 5 \div 2 = 2 \quad \text{Rest: } 1 \\
\text{3. Schritt: } 2 \div 2 = 1 \quad \text{Rest: } 0 \\
\text{4. Schritt: } 1 \div 2 = 0 \quad \text{Rest: } 1 \\
\text{Wenn man die Reste von unten nach oben (rückwärts) aufschreibt:} \\
\text{Ergebnis: } 11_{10} = (1011)_2
\end{array}
\]
Aufgabe 26:
Die Darstellung der Zahl 3975 im Zahlensystem zur Basis 11 lautet $(abcd)_{11}$. Welchem Wert entspricht demnach die Summe $a + b + c + d$ im System zur Basis 11?
\[ \text{A) } (25)_{11} \quad \text{B) } (23)_{11} \quad \text{C) } (52)_{11} \quad \text{D) } (32)_{11} \quad \text{E) } (A1)_{11} \]
Lösung:
\[
\begin{array}{l}
\text{1. Schritt: Wir wandeln die Zahl 3975 in die Basis 11 um:}\\
3975 \div 11 = 361 \quad \text{Rest: } 4 \quad (d = 4) \\
361 \div 11 = 32 \quad \text{Rest: } 9 \quad (c = 9) \\
32 \div 11 = 2 \quad \text{Rest: } 10 \quad (b = A) \\
2 \div 11 = 0 \quad \text{Rest: } 2 \quad (a = 2) \\
\text{Als Ergebnis dieser Operationen erhalten wir:} \\
3975_{10} = (2A94)_{11}\\
\\
\text{2. Schritt: Wir berechnen die Ziffernsumme } a + b + c + d:\\
a + b + c + d = 2 + 10 + 9 + 4 = 25\\
\\
\text{3. Schritt: Wir wandeln diese Summe in die Basis 11 um:}\\
25 \div 11 = 2 \quad \text{Rest: } 3 \\
\text{Ergebnis: } 25_{10} = (23)_{11}
\end{array}
\]
Antwort: B