Addition und Subtraktion rationaler Zahlen

 

Um rationale Zahlen addieren oder subtrahieren zu können, müssen die Nenner der Brüche gleichnamig sein. Um Additionen oder Subtraktionen zwischen Brüchen mit ungleichen Nennern durchzuführen, werden die Brüche zunächst erweitert oder gekürzt, sodass ihre Nenner auf das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner gebracht werden.

Bei der Addition (oder Subtraktion) gleichnamiger Brüche wird die Summe (oder Differenz) der Zähler berechnet und in den Zähler geschrieben, während der gemeinsame Nenner beibehalten und in den Nenner geschrieben wird.

$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}$$

 

Beispiele:

 

$ \bullet \quad \displaystyle\frac{13}{5} +\displaystyle \frac{19}{5} – \displaystyle\frac{7}{5} =\displaystyle \frac{25}{5} = 5 $

 

$ \bullet \quad \left(\displaystyle\frac{1}{3} +\displaystyle \frac{12}{5} \right) -\left(\displaystyle\frac{1}{3}+ \displaystyle\frac{9}{5} \right)+3 $

$=\displaystyle\frac{1}{3}+ \displaystyle\frac{12}{5}-\displaystyle\frac{1}{3} -\displaystyle\frac{9}{5} +3$

$=\displaystyle\frac{1-1}{3}+\displaystyle\frac{12-9}{5} +3=\displaystyle\frac{3}{5} +3 = 3\displaystyle\frac{3}{5}$

 

$ \bullet \quad \displaystyle\frac{1}{2}+1+ \displaystyle\frac{3}{2} +2 =\displaystyle\frac{1+3}{2} +1 +2= \displaystyle\frac{4}{2} +3 =2+3=5 $

 

$\bullet \quad \displaystyle\frac{1}{3} + \displaystyle\frac{2}{3} + \displaystyle\frac{3}{3}+ \cdots + \displaystyle\frac{20}{3} $

$= \displaystyle\frac{1+2+3+4+\cdots +20}{3} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{20 \cdot 21}{2}}{3}$

$=\displaystyle\frac{10 \cdot 21}{3} = 10 \cdot 7 =70$

 

$\bullet \quad \displaystyle\frac{1}{5} – \displaystyle\frac{2}{5} +\displaystyle \frac{3}{5} -\displaystyle \frac{4}{5} + \cdots + \displaystyle\frac{49}{5} – \displaystyle\frac{50}{5} $

$ =\displaystyle \frac{1+3+ \cdots + 49}{5}\quad -\quad\displaystyle \frac{2+4+ \cdots + 50}{5} $

$\text{Wobei } t_1 \text{ und } t_2 \text{ die Anzahl der Terme darstellen:}$

$49=2t_1-1 \Rightarrow t_1=25 \quad \text{und} \quad 50= 2t_2 \Rightarrow t_2=25$

$$=\displaystyle\frac{(25)^2}{5} – \displaystyle\frac{25 \cdot 26}{5} = \displaystyle\frac{25 \cdot (25-26)}{5} = 5 \cdot (-1)= -5$$
*(Hinweis: Die einfachen Satzpunkte aus dem Originaltext wurden in den mathematischen Schritten durch korrekte Multiplikationszeichen ersetzt).*

 

$ \bullet \quad \text{Wenn } a+1= 2 \displaystyle\frac{1}{2} – \displaystyle\frac{1}{4} \text{ ist, wollen wir } a \text{ bestimmen.} $

$a +1= \displaystyle\frac{5}{2} – \displaystyle\frac{1}{4} \Rightarrow a+1 =\displaystyle \frac{10-1}{4} =\displaystyle \frac{9}{4} $

$ \Rightarrow a= \displaystyle\frac{9}{4} -1= \displaystyle\frac{(9-1 \cdot 4)}{4} $

$\Rightarrow a= \displaystyle \frac{5}{4} \text{ wird als Ergebnis ermittelt.}$

 

Hinweis:

 

$$\displaystyle\frac{a}{b} \pm \displaystyle\frac{c}{d} = \displaystyle\frac{ a \cdot d \pm b \cdot c }{b \cdot d}$$

$$a \displaystyle\frac{b}{c}= a+ \displaystyle\frac{b}{c} = \displaystyle\frac{a \cdot c+b}{c}$$

$$-a\displaystyle \frac{b}{c} =-\left(a+ \displaystyle\frac{b}{c} \right)= -\displaystyle\frac{a \cdot c+b}{c}$$

 

Beispiele:

 

\(\bullet \quad \text{In der Gleichung } 2 \displaystyle\frac{2}{5} = n+1 \displaystyle \frac{3}{5} \text{ wollen wir den Wert von } n \text{ bestimmen.} \)

$2 \displaystyle\frac{2}{5} = n+1\displaystyle \frac{3}{5} \Rightarrow 2+\displaystyle \frac{2}{5}= n+1 + \displaystyle\frac{3}{5} $

$ \Rightarrow 1 +\displaystyle \frac{2}{5} – \displaystyle\frac{3}{5} =n $

$\Rightarrow \displaystyle\frac{4}{5} =n $

 

\(\bullet \quad \text{In der Gleichung } 3-1 \displaystyle\frac{1}{3} = x+ \displaystyle\frac{2}{3} \text{ wollen wir den Wert von } x \text{ bestimmen.} \)

$3-1\displaystyle \frac{1}{3} = x+ \displaystyle\frac{2}{3} \Rightarrow 3 -\left(1+ \displaystyle\frac{1}{3} \right) = x+\displaystyle \frac{2}{3} $

$\Rightarrow 2- \displaystyle\frac{1}{3}- \displaystyle\frac{2}{3} = x $

$\Rightarrow x = 1$

 

 

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