Grundrechenarten mit Dezimalzahlen
1. Addition und Subtraktion:
Bei der Addition oder Subtraktion von Dezimalzahlen (Dezimalbrüchen) ist darauf zu achten, dass die jeweiligen Stellenwerte und die Kommata der Zahlen exakt vertikal untereinander ausgerichtet sind. Die Berechnung wird zunächst so durchgeführt, als ob überhaupt kein Komma vorhanden wäre (wie bei den ganzen Zahlen). Anschließend wird das Komma im Endergebnis an der Stelle gesetzt, die der vertikalen Ausrichtung der darüber stehenden Kommata entspricht.
In Fällen, in denen die Operationen nebeneinander aufgeschrieben sind, werden die Ziffern mit demselben Stellenwert ebenfalls von rechts nach links miteinander verrechnet, und das Komma wird unmittelbar links von der Zehntelstelle gesetzt.
Hinweis: Wenn die Anzahl der Nachkommastellen der beteiligten Zahlen während dieses Prozesses nicht übereinstimmt, werden die Stellenwerte ausgeglichen, indem man am rechten Ende der Zahl mit weniger Nachkommastellen so viele Nullen wie nötig anhängt.
Beispiele:
1) Addieren wir die Zahlen \( 217,72\), \( 16,4\) und \( 3,215\).
\[\begin{align*}
&\phantom{+} &217,720 \\
&\phantom{+} &16,400 \\
+ &\phantom{+} &3,215 \\
\hline &\phantom{+} &237,335
\end{align*}
\]
oder
\[\begin{array}{l l }
217,720 + 16,400 + 3,215 = 237,335
\end{array}\]
2) Bestimmen wir das Ergebnis der Operation \( 3,12 – 2,108\).
\[\begin{align*}
&\phantom{-} &3,120\\
-&&\phantom{-} &2,108 \\
\hline &\phantom{-} &1,012
\end{align*}
\]
oder
\[\begin{array}{l l }
3,120 – 2,108 = 1,012 \quad \text{wird berechnet.}
\end{array}\]
3) Bestimmen wir das Ergebnis der Operation \( 1,7 – 1,92\).
\[\begin{array}{l l }
1,7 – 1,92 = 1,70 – 1,92 = -0,22 \quad \text{gilt.}
\end{array}\]
2. Multiplikation:
Bei der Multiplikation zweir Dezimalzahlen werden die Kommata zunächst völlig ignoriert, und das schriftliche Multiplikationsverfahren für natürliche Zahlen wird exakt wie gewohnt angewendet. Nach Abschluss der Multiplikation wird die Gesamtzahl der Nachkommastellen der beiden Faktoren ermittelt. Um diese Anzahl an Stellen wird das Komma im Endergebnis von ganz rechts nach links verschoben. Sollten nicht genügend Ziffern vorhanden sein, werden die fehlenden Stellen links mit Nullen aufgefüllt.
Beispiel 1:
\[
\begin{align*}
3,84&\leftarrow \text{ 2 Nachkommastellen} \\
\times \quad 1,7&\leftarrow \text{ 1 Nachkommastelle} \\
\hline
\phantom{00}2688& \\
+ \phantom{0}384\phantom{0}& \\
\hline
6,528&\leftarrow \text{ 3 (= 2 + 1) Nachkommastellen}
\end{align*}
\]
Beispiel 2:
\[
\begin{align*}
0,003&&\leftarrow \text{ 3 Nachkommastellen} \\
\times \quad 4&& \leftarrow \text{ 0 Nachkommastellen} \\
\hline
0,012&&\leftarrow \text{ 3 Nachkommastellen}
\end{align*}
\]
Hinweis: Wenn man eine Dezimalzahl im Kopf mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000 etc.) multipliziert, verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen besitzt. Wenn nach dem Komma keine Ziffern mehr vorhanden son, werden rechts an die Zahl entsprechende Nullen angehängt.
Beispiele:
- \[\begin{array}{l l } 1,15 \cdot 10 = \displaystyle\frac{115}{100} \cdot 10 =\displaystyle \frac{115}{10} =11,5 \\ 1,15 \cdot 10= 11,5 \end{array}\]
- \[\begin{array}{l l } 100 \cdot 0,125 = 100 \cdot \displaystyle \frac{125}{1000} = \displaystyle\frac{125}{10} =12,5 \\ 100 \cdot 0,125 = 12,5 \end{array}\]
*(Hinweis: Redundante, fehlerhafte Zwischenschritte der sekundären Gleichungszeile im Originallehrbuch wurden bereinigt).*
3. Division:
Beim Dividieren eines Dezimalbruchs durch eine kleinere natürliche Zahl folgt man zunächst den normalen Schritten der schriftlichen Division, als ob kein Komma vorhanden wäre. Sobald jedoch die herabgezogene Ziffer aus dem Dividenden die erste Stelle nach dem Komma (also die Zehntelstelle) erreicht, wird im Ergebnis (Quotienten) ein Komma gesetzt. Anschließend wird die Division wie gewohnt fortgesetzt.
Beispiele:
Führen wir die Berechnungen \( 49,64 \div 4 \) und \( 42,16 \div 4 \) durch.
Beispiel:
Führen wir die Berechnungen \( 2,16 \div 4 \) und \( 3,24 \div 24 \) durch.
\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad &2,16 \;\;\\
-\quad &2 \phantom{,} 0 \;\;\;\; \\
\hline
\;\;\quad &0\phantom{,} 16\\
-\quad \;\;\quad &0\phantom{,} 16\\
\hline
\;\;\quad &00\phantom{,}\\
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 4 \\
\hline
\quad 0,54
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c,c}
\begin{array}{c}
\quad &3,240 \;\;\\
-\quad &2 \phantom{,} 4 \;\;\;\; \\
\hline
\;\;\quad &0\phantom{,} 84\\
-\quad \;\;\quad \phantom{0} \phantom{,} &72\\
\hline
\;\;\quad &120\phantom{,}\\
-\;\;\quad &120\phantom{,}\\
\hline
\;\;\quad &00\phantom{,}\\
\end{array}
\begin{array}{|c}
\quad 24 \\
\hline
\quad 0,135
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\end{array}
\]
Wenn der Divisor (die Zahl, durch die geteilt wird) eine Dezimalzahl ist, werden Dividend und Divisor vor Beginn der Berechnung mit einer geeigneten Zehnerpotenz erweitert, um das Komma vollständig zu eliminieren. Nach diesem Vereinfachungsschritt wird die klassische schriftliche Division durchgeführt.
Hinweis: Um eine Dezimalzahl im Kopf durch 10 oder deren Potenzen zu dividieren, wird das Komma um so viele Stellen nach links verschoben, wie der Divisor Nullen besitzt. Wenn auf der linken Seite keine Ziffern mehr vorhanden sind, werden die Stellen mit Nullen aufgefüllt.
Beispiele:
- $$ 43,8 \div 10 = 4,38$$
- $$ 21,7 \div 100 = 0,217$$
- $$ 2,72 \div 1000 = 0,00272$$
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