Lineare Ungleichungen und Ordnung
Eine Ungleichheit ist das Gegenteil von Gleichheit.
\[
\begin{align*}
x \neq y &; \quad (\text{x ist ungleich y}) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\
x \neq y &; \quad \text{bedeutet, dass entweder x oder y kleiner als das andere ist.} \\
x < y &; \quad (\text{x ist kleiner als y}) \quad \text{oder} \\ y > x &; \quad (\text{y ist größer als x})
\end{align*}
\]
Eigenschaften von Ungleichungen:
Es seien $x, y, a$ und $b$ reelle Zahlen;
1) Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert werden.
$$ \boxed {x < y \iff x \pm a < y \pm a }$$
Zum Beispiel: $$3 < 7 \iff 3+2 < 7+2 $$
$$-5 < -2 \iff -5-3 < -2-3 $$
2) Beide Seiten einer Ungleichung dürfen mit derselben positiven Zahl multipliziert oder durch diese dividiert werden.
$$ \boxed {x < y \iff x \cdot a < y \cdot a } \quad (a > 0 ) $$
Zum Beispiel: $$-2 < 5 \iff -2 \cdot 3 < 5 \cdot 3 $$
$$-4 < -18 \iff -4:4 < 18:4 $$
3) Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert oder durch diese dividiert werden, dreht sich das Ungleichheitszeichen um (Inversion).
$$ \boxed {x < y \iff x \cdot a > y \cdot a } \quad (a < 0 ) $$
Zum Beispiel: $$3 < 11 \iff 3 \cdot (-1) > 11 \cdot (-1) $$
$$-35 < 49 \iff -35 :(-7) > 49: (-7) $$
4) Gleichgerichtete Ungleichungen dürfen gliedweise addiert, aber nicht subtrahiert werden.
$$ \boxed {x < y \quad \text{und} \quad a < b \Rightarrow x + a < y + b } $$
Zum Beispiel: Gegeben seien $$-2 < x < 3$$ und $$-5 < y < -1$$. Bestimmen wir die Intervalle, in denen die Werte von \(x + y\) und \(x – y\) liegen.
Um das Intervall für $x + y$ zu bestimmen, addieren wir die beiden Ungleichungen gliedweise:
$$ -2 +(-5) < x+y < 3 + (-1 ) $$
$$ -7 < x+y < 2 \quad \text{wird berechnet.}$$
Um das Intervall für $x – y$ zu ermitteln, dürfen wir die Ungleichungen nicht direkt subtrahieren. Stattdessen multiplizieren wir zunächst alle Seiten der zweiten Ungleichung mit -1:
$$ -5 < y < -1 \iff 5 > -y > 1 $$
\[
\begin{array}{r@{}c@{}l}
& 5 & > -y > 1 \\
+ & 3 & > x > -2 \\ \hline
& 8 & > x – y > -1 \quad \text{wird berechnet.}
\end{array}
\]
5) Unter der Voraussetzung, dass \(x, y, a,\) und \(b\) positiv sind, dürfen gleichgerichtete Ungleichungen gliedweise multipliziert, aber nicht dividiert werden.
$$ \boxed {x
Zum Beispiel: \( 2 < x < 7 \quad \text{und} \quad 3 < y < 5 \Rightarrow 2 \cdot 3 < x \cdot y < 7 \cdot 5 \).
6) Ungleichungen sind transitiv (Übertragbarkeit).
$$ \boxed {x < a \quad \text{und} \quad a
Zum Beispiel: \( -2 < 5 \quad \text{und} \quad 5< 7 \quad \Rightarrow \quad -2 < 7 \).
7) $$ \boxed {0< a
$$ 2< 3 \Rightarrow 2^3< 3^3 \Rightarrow 2^6 < 5^6 \quad \text{gilt.} $$
8)
a) $$ \boxed {a< b <0 \Rightarrow a^{2n-1} < b^{2n-1} <0 } \quad n\in Z^+ $$ Zum Beispiel: \( -3<-2 \Rightarrow (-3)^3 < (-2)^3 \).
b) $$ \boxed {a< b <0 \Rightarrow a^{2n} > b^{2n} >0 } \quad n\in Z^+ $$ Zum Beispiel: \( -\frac{1}{2} <-\frac{1}{3} \Rightarrow (-\frac{1}{2} )^2 > (-\frac{1}{3 })^2 \).
9) Eine positive Potenz einer Zahl zwischen 0 und 1 ist kleiner als die Zahl selbst. $$ \boxed {0 < x < 1 \Rightarrow 0 < x^n < x < 1 } \quad (n \in Z^+) $$
Zum Beispiel: $$0 < \frac{1}{2} < 1 \quad \text{und} \quad 1 > \frac{1}{2} > (\frac{1}{2} )^2 > (\frac{1}{2} )^3 \cdots > 0 $$.
10) Eine positive Potenz einer Zahl, die größer als 1 oder zwischen -1 und 0 liegt, ist größer als die Zahl selbst.
$$ \boxed {-1 < x < 0 \quad \text{oder} \quad x> 1 \quad \text{gilt} \quad x^n > x } \quad (n \in Z^+) $$
Zum Beispiel: $$ 2< 2^2 < 2^3 ; \quad -\frac{2}{3} < (-\frac{2}{3})^2 ; \quad -\frac{3}{4} < (-\frac{3}{4} )^3 $$
$$ -1 < (-\frac{1}{2} ) < (-\frac{1}{2} )^3 < (-\frac{1}{2})^5 < \cdots < 0 < (-\frac{1}{2} )^4 < (-\frac{1}{2})^2 < 1 $$
11) Für eine Zahl kleiner als -1 sind die positiven ungeraden Potenzen kleiner als die Zahl selbst, während die positiven geraden Potenzen größer als die Zahl selbst sind.
\[
\boxed{x < -1 \Rightarrow x^{2n-1} < x \quad (n \in Z^+)} \quad \boxed{x < -1 \Rightarrow x^{2n} > x \quad (n \in Z^+)}
\]
Zum Beispiel:
$$(-2)^5 < (-2)^3 < -2; \quad -2 < (-2)^2 < (-2) ^4 $$
12) Wenn \( x \cdot y > 0 \) gilt (d. h. $x$ und $y$ haben dasselbe Vorzeichen):
$$ x< y \iff \frac{1}{x} > \frac{1}{y} $$
Zum Beispiel:
$$ 2 < 3 \iff \frac{1}{2} > \frac{1}{3} $$
13) Wenn \( x \cdot y < 0 \) gilt (d. h. $x$ und $y$ haben unterschiedliche Vorzeichen):
$$ x< y \iff \frac{1}{x} < \frac{1}{y} $$
Zum Beispiel:
$$ -2 < 3 \iff -\frac{1}{2} < \frac{1}{3} $$
Frage 56:
$x, y$ und $z$ sind reelle Zahlen.
$$ x+ y < y+z $$
$$ x \cdot y < y \cdot z $$
Welche der folgenden Aussagen ist unter diesen Voraussetzungen immer richtig?
\[ \text{A)} x \cdot y < 0 \quad \text{B) } y \cdot z < 0 \quad \text{C) }x \cdot z >0 \quad \text{D) } y >0 \quad \text{E)} z<0 \]
Lösung:
Aus \(x + y < y + z\) folgt durch Subtraktion von $y$ auf beiden Seiten direkt \(x < z \). Wenn beide Seiten dieser so gewonnenen Ungleichung mit $y$ multipliziert werden, erhält man \( x \cdot y < y \cdot z \). Da dieser Ausdruck identisch mit der Bedingung in der Aufgabenstellung ist (das Ungleichheitszeichen hat seine Richtung also nicht geändert), folgt direkt, dass $y > 0$ sein muss.
\(\textbf{Antwort: D} \)
Frage 57:
Gegeben sind die Bedingungen \(a^3b^2<0 \quad \text{und} \quad a^5b^4-ab^4<0 \). Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?
\[ \text{A)} a < -1 \quad \text{B) } -1 < a <0 \quad \text{C) } 0 <a<1 \quad \text{D) } \frac{1}{2} < a <1 \quad \text{E)} a>1 \]
Lösung:
\[\begin{array}{l l }
\text{Da } b^2 >0 \text{ gilt:} \\
a^3b^2<0 \Rightarrow a^3<0 \Rightarrow a<0 \quad \text{und} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ \text{Da } b^4 >0 \text{ gilt:} \quad a^5b^4-ab^4 <0 \Rightarrow a^5b^4 < ab^4 \Rightarrow a^5< a. \quad \text{Dies bedeutet, dass} \\
a < -1 \quad \text{oder} \quad 0 < a < 1 \text{ gilt. In Kombination mit der Bedingung } a<0 \text{ folgt:} \\
a < -1.
\end{array}\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Frage 58:
$$ 2a + b > 12$$
$$-a -2c < -3$$ $$ c + 2b > 9$$
Welches ist der kleinste ganzzahlige Wert, den die Summe $a + b + c$ unter diesen Bedingungen annehmen kann?
\[ \text{A)} 8 \quad \text{B) } 9 \quad \text{C) } 10\quad \text{D) } 11 \quad \text{E)} 12 \]
Lösung:
Wenn wir beide Seiten der zweiten Ungleichung mit -1 multiplizieren und anschließend alle drei Ungleichungen gliedweise addieren:
\[
\begin{array}{l l }
&2a + b > 12\\
&a +2c > 3\\
+ \quad &c + 2b > 9 \\
\hline
&3(a +b+ c) >24 \Rightarrow a +b+ c > 8
\end{array}
\]
Da $a + b + c > 8$ gilt, ist der kleinste ganzzahlige Wert, den die Summe annehmen kann, gleich 9.
\(\textbf{Antwort: B} \)
Frage 59:
Wenn $$ -1<a<b<0<c<1 $$ gilt, welche der folgenden Aussagen ist dann falsch?
\[ \text{A)} c^2 < c \quad \text{B) } a^2> a \quad \text{C) } b^3 > b\quad \text{D) } ab> ac \quad \text{E)} ac> bc \]
Lösung:
Da \(c > 0\) gilt, bleibt die Richtung des Ungleichheitszeichens erhalten, wenn man beide Seiten von \(a < b \) mit $c$ multipliziert. Man erhält \( ac < bc \). Folglich ist die Aussage \( ac > bc \) falsch.
\(\textbf{Antwort: E} \)
Frage 60:
$$ ab < \left| ab\right| $$ $$ bc < \left| bc\right| $$ Welche der folgenden Relationen ist unter diesen Bedingungen immer korrekt? \[ \text{A)} \frac{a}{c} + \frac{c}{a} >0 \quad \text{B) } \frac{a}{b} + \frac{b}{a}>0\]
\[ \quad \text{C) } \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} <0 \quad \text{D) } abc>0\]
\[ \quad \text{E) } abc < 0 \]
Lösung:
\[
ab < |ab| \Rightarrow ab < 0 \quad \text{folgt direkt.}
\]
\[
bc < |bc| \Rightarrow bc < 0 \quad \text{folgt direkt.} \] Betrachten wir die Vorzeichen von $a, b$ und $c$ anhand dieser Ergebnisse: Tabelle: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & a & b & c \\ \hline 1 & + & – & + \\ \hline 2 & – & + & – \\ \hline \end{array} \[ \text{Die Tabelle zeigt, dass } a \text{ und } c \text{ in beiden möglichen Fällen das gleiche Vorzeichen besitzen.} \] \[ \text{Daher sind die Brüche } \frac{a}{c} \text{ und } \frac{c}{a} \text{ in jedem Fall positiv, woraus folgt:} \] \[ \frac{a}{c} + \frac{c}{a} > 0 \quad \text{ist immer wahr.}
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Frage 61:
Unter den Bedingungen \(a \cdot 2^{-4} = b \) und \( 64 \le a \le 192 \), welches ist der größte ganzzahlige Wert, den $b$ annehmen kann?
\[ \text{A)} 8 \quad \text{B) } 9 \quad \text{C) } 10 \quad \text{D) } 11 \quad \text{E)} 12 \]
Lösung:
Aus \( a \cdot 2^{-4} =b \Rightarrow a \cdot \frac{1}{16} = b \Rightarrow a=16b \) folgt die Äquivalenz. Setzen wir diesen Ausdruck in die vorgegebene Ungleichung ein:
$$ 64 \le a < 192 \Rightarrow 64 \le 16b < 192 $$
$$ \Rightarrow 4 \le b < 12 $$
Daraus ergibt sich, dass der größte ganzzahlige Wert für $b$ gleich 11 ist.
\(\textbf{Antwort: D} \)
Frage 62:
Gegeben sind \(-\frac{3}{2} \le x < 6 \quad \text{und} \quad -\frac{7}{3} < y \le \frac{10}{3} \). Welches ist der kleinste ganzzahlige Wert, den die Summe $2x + 3y$ annehmen kann?
\[ \text{A)} -10 \quad \text{B) } -9 \quad \text{C) } -8 \quad \text{D) } -7 \quad \text{E)} -6 \]
Lösung:
\[\begin{array}{l l }
\quad \quad -\frac{3}{2} \le x < 6 \quad \Rightarrow & -3 \le 2x < 12 \\
+ \quad -\frac{7}{3} < y \le \frac{10}{3} \quad \Rightarrow & -7 < 3y \le 10 \\ \hline \\
& -10 < 2x + 3y < 22
\end{array}\]
Der kleinste ganzzahlige Wert für den Ausdruck $2x + 3y$ ist folglich -9.
\(\textbf{Antwort: B} \)
Frage 63:
Die Herstellungskosten einer Ware seien $M$, ihr Verkaufspreis sei $S$. Zwischen den Kosten und dem Verkaufspreis bestehen zwei mögliche lineare Beziehungen:
- $S = 3M – 100$
- $S = M + 120$
Unter der Annahme, dass die gesamte produzierte Ware verkauft wird und die Berechnung des Verkaufspreises nach Beziehung I profitabler (gewinnbringender) ist, welche Aussage über $M$ ist korrekt?
\[ \text{A)} M> 330 \quad \text{B) } M > 220 \quad \text{C) } M > 110 \quad \text{D) } M > 55 \quad \text{E)} M > 50 \]
Lösung:
Da Fall I einen höheren Gewinn abwirft als Fall II, gilt:
$$ 3M – 100 > M + 120 $$ $$ 2M > 220 $$ $$ M > 110 \quad \text{wird berechnet.}$$
\(\textbf{Antwort: C} \)