Gelöste Aufgaben
Aufgabe 1:
$$ \frac{2x-5}{y+4} = \frac{1}{5} $$
Für welchen Wert von $x$ wird der Bruch \(\frac{x}{y-1}\) undefiniert, wenn die obige Gleichung erfüllt ist?
\[ \text{A)} 1 \quad \text{B) } 2 \quad \text{C) } 3 \quad \text{D) } 4 \quad \text{E) } 5 \]
Lösung:
Ein Bruch ist genau dann undefiniert, wenn sein Nenner Null ist. Für den Bruch \[ \frac{x}{y-1} \] ist dies bei $y = 1$ der Fall. Setzen wir $y = 1$ in die gegebene Ausgangsgleichung ein, um den zugehörigen Wert für $x$ zu berechnen:
\[ \frac{2x-5}{y+4} = \frac{1}{5} \Rightarrow \frac{2x-5}{1+4} = \frac{1}{5} \]
\[ \Rightarrow 2x – 5= 1 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 2:
Es seien $a$ und $b$ positive ganze Zahlen. Wenn der Ausdruck $$\frac{a+5}{b+8}$$ ein unechter Bruch ist, welches ist dann der kleinste Wert für die Summe \( a+b \)?
\[ \text{A)} 4 \quad \text{B) } 5 \quad \text{C) } 6 \quad \text{D) } 7 \quad \text{E) } 8 \]
Lösung:
Damit die Summe $a + b$ so klein wie möglich wird, muss der Bruch $$ \frac{a+5}{b+8} $$ der kleinstmögliche positive unechte Bruch sein, also den Wert $1$ annehmen (Zähler gleich Nenner). Da $b$ eine positive ganze Zahl ist, ist der kleinstmögliche Wert $b = 1$. Daraus folgt $a + 5 = 1 + 8 \Rightarrow a = 4$. Die minimale Summe beträgt somit $a + b = 4 + 1 = 5$.
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 3:
\[
\underbrace{\frac{3}{2} – \frac{4}{3} + \frac{3}{2} – \frac{4}{3} + \dots + \frac{3}{2}}_{21 \, \text{Terme}}
\]
Was ist das Ergebnis dieser Rechenoperation?
\[ \text{A)} \frac{11}{6} \quad \text{B) } \frac{13}{6} \quad \text{C) } \frac{19}{6} \quad \text{D) } \frac{5}{3} \quad \text{E) } \frac{7}{3} \]
Lösung:
Wir können die ersten $20$ Terme sinnvoll in Paaren zusammenfassen:
\[
\underbrace{
\left( \frac{3}{2} – \frac{4}{3} \right) + \left( \frac{3}{2} – \frac{4}{3} \right) + \dots + \left( \frac{3}{2} – \frac{4}{3} \right)
}_{20 \, \text{Terme}} + \frac{3}{2}
\]
Jedes Paar hat den Wert $\frac{3}{2} – \frac{4}{3} = \frac{9-8}{6} = \frac{1}{6}$. Da es genau $10$ solcher Paare gibt, folgt:
\[
= \underbrace{\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \dots + \frac{1}{6}}_{10 \, \text{mal}}
+ \frac{3}{2} = 10 \cdot \frac{1}{6} + \frac{3}{2} = \frac{5}{3} + \frac{3}{2} = \frac{10+9}{6} = \frac{19}{6}
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 4:
Die Ausdrücke $m – n$ und $p + n$ sind teilerfremde Zahlen. Wenn $$ \frac{m-n}{p+n}= \frac{12}{18} $$ gilt, wie groß ist dann die Summe $m + p$?
\[ \text{A)} 1 \quad \text{B) } 2 \quad \text{C) } 3 \quad \text{D) } 4 \quad \text{E) } 5 \]
Lösung:
Wenn Zähler und Nenner eines Bruches teilerfremd sind, befindet sich der Bruch bereits in seiner am weitesten gekürzten Form. Kürzen wir den gegebenen Bruch:
$$ \frac{m-n}{p+n} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$
Da $m – n$ und $p + n$ teilerfremd sind, können wir die Werte direkt gleichsetzen:
\[
\left.
\begin{aligned}
m – n &= 2 \\
p + n &= 3
\end{aligned}
\right\}
\]
Addiert man diese beiden Gleichungen gliedweise, hebt sich $-n$ und $+n$ auf, und man erhält direkt: $m + p = 5$.
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 5:
\[
\left[ \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) – \left( \frac{2}{9} – \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right) \right] : \frac{2}{9}
\]
Was ist das Ergebnis dieses Ausdrucks?
\[ \text{A)} -1 \quad \text{B) } 1 \quad \text{C) } -\frac{1}{9} \quad \text{D) } \frac{1}{9} \quad \text{E) } 0 \]
Lösung:
\[
\text{Ausgangsform:} \quad \left[ \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) – \left( \frac{2}{9} – \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right) \right] : \frac{2}{9}
\]
Wir lösen zuerst die inneren Klammern auf, indem wir das Minuszeichen verteilen:
\[
= \left[ \frac{1}{3} – \frac{1}{5} – \frac{2}{9} + \frac{1}{5} – \frac{1}{3} \right] : \frac{2}{9}
\]
\[
\text{Schritt 1:} \quad \text{Sortieren der Terme für einfaches Kürzen:}
\]
\[
= \left[ \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}\right) – \frac{2}{9} \right] : \frac{2}{9}
\]
\[
\text{Schritt 2:} \quad \text{Die entgegengesetzten Terme heben sich auf:}
\]
\[
= \left[ -\frac{2}{9} \right] : \frac{2}{9}
\]
\[
\text{Schritt 3:} \quad \text{Division durch Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzen:}
\]
\[
= -\frac{2}{9} \cdot \frac{9}{2}
\]
\[
\text{Schritt 4:} \quad \text{Ausrechnen des Produkts:}
\]
\[
= -1
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 6:
$$ \frac{n+1}{n} = 1,05 $$ Welchen Wert hat $n$?
\[ \text{A)} 17 \quad \text{B) } 18 \quad \text{C) } 19 \quad \text{D) } 20 \quad \text{E) } 21 \]
Lösung:
Wir können den Bruch und die Dezimalzahl wie folgt umschreiben:
\[
\frac{n+1}{n} = 1,05 \Rightarrow 1 + \frac{1}{n} = 1 + \frac{5}{100}
\]
\[
\Rightarrow 1 + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{20} \Rightarrow \frac{1}{n} = \frac{1}{20} \Rightarrow n = 20
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 7:
Wenn $$ x = -\frac{15}{14} – \frac{16}{15} – \frac{17}{16} $$ gegeben ist, wie lautet der Wert für die Summe \(\frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16}\) ausgedrückt in Abhängigkeit von $x$?
\[ \text{A)} 3-x \quad \text{B) } x-3 \quad \text{C) } -x-3 \quad \text{D) } x+3 \quad \text{E) } 3x \]
Lösung:
Wir zerlegen jeden unechten Bruch in eine ganze Zahl und einen echten Bruch:
\[
x = -\frac{15}{14} – \frac{16}{15} – \frac{17}{16}
\]
\[
\Rightarrow x = -\left(1 + \frac{1}{14}\right) – \left(1 + \frac{1}{15}\right) – \left(1 + \frac{1}{16}\right)
\]
\[
\Rightarrow x = -1 – \frac{1}{14} – 1 – \frac{1}{15} – 1 – \frac{1}{16}
\]
\[
\Rightarrow x = -3 – \left( \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} \right)
\]
Nun stellen wir die Gleichung nach dem gesuchten Ausdruck um:
\[
\Rightarrow \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} = -x – 3
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 8:
Welchen Wert hat der folgende verschachtelte Kettenbruch?
\[
\Large
2 – \frac{1}{2 + \frac{1}{2 – \frac{1}{2}}}
\]
\[ \text{A)} \frac{7}{8} \quad \text{B) } \frac{9}{8} \quad \text{C) } \frac{11}{8} \quad \text{D) } \frac{13}{8} \quad \text{E)} \frac{15}{8} \]
Lösung:
Wir lösen den Bruch Schritt für Schritt von unten nach oben auf:
\[
\text{Gegebener Ausdruck:} \quad 2 – \frac{1}{2 + \frac{1}{2 – \frac{1}{2}}}
\]
\[\textbf{Schritt 1: Berechnen des innersten Nenners:} \quad 2 – \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]
\[
\Rightarrow 2 – \frac{1}{2 + \frac{1}{\frac{3}{2}}}
\]
\[\textbf{Schritt 2: Kehrwert des innersten Bruchs bilden:} \quad \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}
\]
\[
\Rightarrow 2 – \frac{1}{2 + \frac{2}{3}}
\]
\[\textbf{Schritt 3: Addition im verbleibenden Nenner ausführen:} \quad 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}
\]
\[
\Rightarrow 2 – \frac{1}{\frac{8}{3}}
\]
\[\textbf{Schritt 4: Erneut den Kehrwert bilden:} \quad \frac{1}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{8}
\]
\[
\Rightarrow 2 – \frac{3}{8}
\]
\[\textbf{Schritt 5: Letzte Subtraktion berechnen:} \quad \frac{16}{8} – \frac{3}{8} = \frac{13}{8}
\]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 9:
Was ist das Ergebnis der Rechenoperation \[ \left( 1 – 0,2: 0,4 + \frac{3}{5} \right) \cdot \frac{1}{0,1} \]?
\[ \text{A)} 26 \quad \text{B) } 11 \quad \text{C) } 2 \quad \text{D) } 1,1 \quad \text{E)} 0,11 \]
Lösung:
Beachten Sie die Punkt-vor-Strich-Rechnung in der Klammer und dass Division durch $0,1$ einer Multiplikation mit $10$ entspricht:
$$(1-0,2: 0,4 +\frac{3}{5} ) \cdot \frac{1}{0,1} = \left(1- \frac{0,2}{0,4} + \frac{3}{5}\right) \cdot 10$$
$$=\left(1 -\frac{1}{2} + \frac{3}{5}\right) \cdot 10 $$
$$= 10 – \left(\frac{1}{2} \cdot 10\right) + \left(\frac{3}{5} \cdot 10\right) = 10 – 5 + 6 = 11 $$
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 10:
Was ist das Ergebnis des Ausdrucks $$ \frac{3}{0,5} – \frac{2}{0,25} + \frac{1}{0,125} $$?
\[ \text{A)} 6 \quad \text{B) } 8 \quad \text{C) } 10 \quad \text{D) } 0,2 \quad \text{E)} 0,04 \]
Lösung:
\[
\textbf{Weg 1 (Überführung in Brüche):}
\]
\[
\frac{3}{0,5} – \frac{2}{0,25} + \frac{1}{0,125}
= \frac{3}{\frac{1}{2}} – \frac{2}{\frac{1}{4}} + \frac{1}{\frac{1}{8}}
\]
\[
= (3 \cdot 2) – (2 \cdot 4) + (1 \cdot 8) = 6 – 8 + 8 = 6
\]
\[
\textbf{Weg 2 (Erweitern der Dezimalbrüche):}
\]
\[
\frac{3}{0,5} – \frac{2}{0,25} + \frac{1}{0,125}
= \frac{30}{5} – \frac{200}{25} + \frac{1000}{125}
\]
\[
= 6 – 8 + 8 = 6
\]
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 11:
\[ \text{Wenn} \quad 1 + \cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{x}{2} }{2} } {2}= 2 \quad \text{gilt, wie groß ist dann } x? \]
\[ \text{A)} 0 \quad \text{B) } 1 \quad \text{C) } 2 \quad \text{D) } \frac{6}{5} \quad \text{E)} \frac{7}{2} \]
Lösung:
Wir lösen die Gleichung von außen nach innen auf:
\[
1 + \underbrace{\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{x}{2}}{2}}{2}}_{1} = 2
\]
Daraus folgt, dass der Zähler des Hauptbruchs den Wert $2$ haben muss:
\[ 1+\cfrac{1+\cfrac{x}{2}}{2} = 2 \Rightarrow \cfrac{1+\cfrac{x}{2}}{2} = 1 \]
\[ \Rightarrow 1+\cfrac{x}{2} = 2 \Rightarrow \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow x=2 \]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 12:
Es gilt \(\large \frac{1}{2a} = \frac{2}{3b} = \frac{3}{4c} \), wobei $a, b$ und $c$ negative Zahlen sind. Wie lautet die korrekte Reihenfolge (Größenvergleich) der Zahlen $a, b$ und $c$?
\[ \text{A)} a<b
Lösung:
Weg 1:
Wir multiplizieren alle Teile der Gleichungskette \(\Large \frac{1}{2a} = \frac{2}{3b} = \frac{3}{4c} \) mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) der Zähler, also $\text{kgV}(1, 2, 3) = 6$:
\[ \frac{6}{2a} = \frac{12}{3b} = \frac{18}{4c} \Rightarrow \frac{3}{a} = \frac{4}{b} = \frac{4,5}{c} \]
Bilden wir die Kehrwerte, erhalten wir:
\[ \frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{4,5} \]
Da $a, b$ und $c$ negative Zahlen sind, verhalten sich ihre Beträge proportional zu den Nennern: $|a| < |b| < |c|$. Unter Berücksichtigung des negativen Vorzeichens kehrt sich die Ordnung um:
$$ c < b < a $$
Weg 2:
Da die Zahlen negativ sein müssen, können wir testweise passende negative Werte wählen, die die Gleichung erfüllen. Setzen wir die Ausdrücke beispielsweise gleich $-\frac{1}{12}$:
\[ 2a = -12 \Rightarrow a = -6 \]
\[ \frac{3b}{2} = -12 \Rightarrow b = -8 \]
\[ \frac{4c}{3} = -12 \Rightarrow c = -9 \]
Vergleichen wir diese Werte: $-9 < -8 < -6$, woraus sich direkt $c < b < a$ ergibt.
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 13:
Die Variablen $x, y$ und $z$ stellen jeweils eine Ziffer dar. Wenn $$ x +y+ z = 5 $$ gegeben ist, wie hoch ist dann die Summe der Dezimalzahlen \( x,yz + y,zx + z,xy \)?
\[ \text{A)} 5,55 \quad \text{B) } 5,01 \quad \text{C) } 6,11 \quad \text{D) } 6,15 \quad \text{E)} 6,05 \]
Lösung:
Wir zerlegen die Dezimalzahlen nach ihren Stellenwerten und addieren sie spaltenweise:
$$ x,yz = x + 0,1y + 0,01z $$
$$ y,zx = y + 0,1z + 0,01x $$
$$ z,xy = z + 0,1x + 0,01y $$
Zusammenaddiert ergibt das:
$$ (x+y+z) + 0,1(y+z+x) + 0,01(z+x+y) $$
$$ = (x+y+z) \cdot (1 + 0,1 + 0,01) $$
Da $x+y+z = 5$ ist:
$$ = 5 \cdot 1,11 = 5,55 $$
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 14:
Die Zahl \(\large 1,\overline{3}\) ist eine periodische Dezimalzahl.
Wenn $$ x-1,\overline{3} = \frac{x}{3}$$ gilt, wie groß ist dann $x$?
\[ \text{A)} 1 \quad \text{B) } -1 \quad \text{C) } 2 \quad \text{D) } -2 \quad \text{E)} 3 \]
Lösung:
Zuerst wandeln wir die periodische Dezimalzahl in einen Bruch um:
$$ 1,\overline{3}= \frac{13-1}{9} =\frac{12}{9} = \frac{4}{3} $$
Eingesetzt in die Gleichung, isolieren wir $x$:
$$ x – \frac{x}{3} = 1,\overline{3} \Rightarrow \frac{2x}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x=2 $$
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 15:
$$\large \text{Was ist das Ergebnis der Operation } \frac{\frac{3}{5} }{6}- \frac{3}{\frac{5}{6} }? \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$
\[ \text{A)} \frac{3}{2} \quad \text{B) } \frac{5}{2} \quad \text{C) } -\frac{5}{2} \quad \text{D) } \frac{7}{2} \quad \text{E)} -\frac{7}{2} \]
Lösung:
Achten Sie genau auf die Hauptbruchstriche:
$$ \frac{\frac{3}{5} }{6}- \frac{3}{\frac{5}{6}} = \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6}\right) – \left(3 \cdot \frac{6}{5}\right) = \frac{3}{30} – \frac{18}{5} = \frac{1}{10} – \frac{36}{10} $$
$$ = -\frac{35}{10} = -\frac{7}{2} $$
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 16:
$$ \text{Was ist das Ergebnis der Operation } \frac{0,000099+ 0,0099+ 0,99}{0,000011}? \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$
\[ \text{A)} 111 \quad \text{B) } 10101 \quad \text{C) } 9099 \quad \text{D) } 90909 \quad \text{E)} 999 \]
Lösung:
Zuerst addieren wir die Werte im Zähler, indem wir die Kommastellen sauber untereinander schreiben:
$$ 0,99 + 0,0099 + 0,000099 = 0,999999 $$
Eingesetzt in den Gesamtausdruck erweitern wir beide Werte, um das Komma zu eliminieren:
$$ \frac{0,999999}{0,000011} = \frac{999999}{11} $$
Führen wir die Division durch:
$$ 999999 \div 11 = 90909 $$
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 17:
Wenn man im Produkt $a \cdot b$ die beiden Faktoren $a$ und $b$ jeweils halbiert und anschließend multipliziert, um wie viel verringert sich das Ergebnis im Vergleich zum ursprünglichen Produkt?
\[ \text{A)} \frac{ab}{4} \quad \text{B) }\frac{3ab}{4} \quad \text{C) } \frac{ab}{2} \quad \text{D) } \frac{ab}{3} \quad \text{E)} \frac{2ab}{3} \]
Lösung:
Die halbierten Faktoren lauten \( \frac{a}{2} \) und \( \frac{b}{2} \). Multipliziert man diese, erhält man:
\[ \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4} \]
Die Differenz zum ursprünglichen Produkt $ab$ beträgt somit:
\[ ab – \frac{ab}{4} = \frac{3ab}{4} \]
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 18:
Es sei $a$ eine ganze Zahl. Wenn das 4-Fache des Bruches $$ \frac{a-2}{a+2} $$ eine ungerade Zahl ergibt, wie groß ist dann die Summe aller Werte, die $a$ annehmen kann?
\[ \text{A)} 6\quad \text{B) } 4 \quad \text{C) } 0 \quad \text{D) } -4 \quad \text{E)} -6 \]
Lösung:
Formen wir den Bruch zuerst um, um die ganze Zahl abzuspalten:
$$ \frac{a-2}{a+2} = \frac{(a+2)-4}{a+2} = 1 – \frac{4}{a+2} $$
Das 4-Fache dieses Ausdrucks lautet:
$$ 4 \cdot \left(1 – \frac{4}{a+2}\right) = 4 – \frac{16}{a+2} $$
Damit das Gesamtergebnis eine ungerade Zahl wird, muss der Subtrahend $\frac{16}{a+2}$ eine ungerade ganze Zahl sein. Das ist nur dann der Fall, wenn der Nenner $a+2$ ein Teiler von $16$ ist, der ein ungerades Ergebnis liefert. Die einzigen Teiler von $16$, die dies erfüllen, sind $16$ selbst und $-16$ (mit den Ergebnissen $1$ und $-1$):
1. $a + 2 = 16 \Rightarrow a = 14$
2. $a + 2 = -16 \Rightarrow a = -18$
Die Summe dieser beiden möglichen Werte für $a$ beträgt $14 + (-18) = -4$.
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 19:
$$ \text{Welcher der folgenden Brüche ist der kleinste: } \frac{17}{20}, \frac{7}{11} , \frac{5}{7} , \frac{7}{8} , \frac{13}{15}? $$
\[ \text{A)} \frac{17}{20} \quad \text{B) } \frac{7}{11} \quad \text{C) } \frac{5}{7} \quad \text{D) } \frac{7}{8} \quad \text{E)} \frac{13}{15} \]
Lösung:
Da wir nach dem kleinsten Bruch suchen, können wir Brüche, die offensichtlich größer als andere sind, direkt ausschließen:
– Es gilt $\frac{7}{8} > \frac{7}{11}$ und $\frac{13}{15} > \frac{5}{7}$. Somit können $\frac{7}{8}$ und $\frac{13}{15}$ nicht die kleinsten Werte sein.
– Es verbleiben noch die drei Brüche \( \frac{17}{20}, \frac{7}{11} \) und \( \frac{5}{7} \), die wir vergleichen müssen.
Nutzen wir den Kreuzvergleich (Über-Kreuz-Multiplikation) für die verbleibenden Kandidaten:
Vergleich von $\frac{7}{11}$ und $\frac{5}{7}$: $7 \cdot 7 = 49$ und $11 \cdot 5 = 55$. Da $49 < 55$ ist, gilt $\frac{7}{11} < \frac{5}{7}$.
Vergleich von $\frac{7}{11}$ und $\frac{17}{20}$: $7 \cdot 20 = 140$ und $11 \cdot 17 = 187$. Da $140 < 187$ ist, gilt $\frac{7}{11} < \frac{17}{20}$.
Folglich ist $\frac{7}{11}$ der kleinste aller gegebenen Brüche.
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 20:
Was ist das Ergebnis der Operation $$ \frac{3,\overline{444} – 1,\overline{33}}{2,222\cdots} $$?
\[ \text{A)} \frac{21}{20} \quad \text{B) } \frac{19}{20} \quad \text{C) } \frac{17}{20} \quad \text{D) } \frac{15}{13} \quad \text{E)} \frac{13}{15} \]
Lösung:
Wir vereinfachen zunächst die Notation der periodischen Dezimalzahlen:
$$ 3,\overline{444} = 3,\overline{4} \quad \text{und} \quad 1,\overline{33} = 1,\overline{3} $$
Führen wir die Subtraktion im Zähler aus:
$$ 3,\overline{4} – 1,\overline{3} = 2,\overline{1} = \frac{21-2}{9} = \frac{19}{9} $$
Wandeln wir nun den Nenner um:
$$ 2,222\dots = 2,\overline{2} = \frac{22-2}{9} = \frac{20}{9} $$
Setzen wir die beiden Brüche in den Hauptbruch ein:
$$ \frac{3,\overline{444}- 1,\overline{33}}{2,222\dots } = \frac{\frac{19}{9}}{\frac{20}{9}} = \frac{19}{9} \cdot \frac{9}{20} = \frac{19}{20} $$
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 21:
Unter der Bedingung, dass $x$ und $y$ jeweils einzelne Ziffern sind, gilt:
$$ 2,\overline{9} \cdot (0,\overline{xy}+ 0,\overline{yx} )= 1 $$ Wie groß ist die Summe $x + y$?
\[ \text{A)} 3 \quad \text{B) } 4 \quad \text{C) } 6 \quad \text{D) } 9 \quad \text{E)} 11 \]
Lösung:
Es ist bekannt, dass eine periodische Dezimalzahl, die auf $\overline{9}$ endet, auf die nächste ganze Zahl aufgerundet wird, folglich ist $2,\overline{9} = 3$. Wandeln wir die periodischen Ausdrücke in Brüche um:
$$ 3 \cdot \left(\frac{10x+y}{99} + \frac{10y+x}{99}\right) = 1 $$
$$ \Rightarrow 3 \cdot \left(\frac{11(x+y)}{99}\right) = 1 \Rightarrow 3 \cdot \frac{x+y}{9} = 1 $$
$$ \Rightarrow \frac{x+y}{3} = 1 \Rightarrow x+y = 3 $$
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 22:
\[
\text{Wenn} \quad 1 – \cfrac{3}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}} = \frac{2}{3} \quad \text{gilt, welchen Wert hat dann } x?
\]
\[ \text{A)} -\frac{1}{7} \quad \text{B) } -\frac{2}{7} \quad \text{C) } -\frac{8}{7} \quad \text{D) } -\frac{1}{8} \quad \text{E)} -\frac{8}{3} \]
Lösung:
Wir lösen die Gleichung schrittweise von der äußeren Struktur nach innen auf:
\[
1 – \frac{2}{3} = \cfrac{3}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}} \Rightarrow \frac{1}{3} = \cfrac{3}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}}
\]
Durch Über-Kreuz-Multiplikation sehen wir, dass der gesamte Nenner den Wert $9$ haben muss:
\[
1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}} = 9 \Rightarrow \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}} = 8
\]
Bilden wir den Kehrwert auf beiden Seiten:
\[
1 + \frac{1}{x} = \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{8} – 1 = -\frac{7}{8} \Rightarrow x = -\frac{8}{7}
\]
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 23:
\[
\text{Welchen Wert hat der unendliche Kettenbruch: } 2 + \cfrac{3}{2 + \cfrac{3}{2 + \cfrac{3}{2 + \cfrac{3}{\ddots}}}} \,?
\]
\[ \text{A)} \frac{5}{2} \quad \text{B) } 3 \quad \text{C) } \frac{7}{2} \quad \text{D) } 4 \quad \text{E)} \frac{9}{2} \]
Lösung:
Wir setzen den Gesamtwert dieses unendlichen, sich periodisch wiederholenden Kettenbruchs gleich $x$:
\[
x = 2 + \cfrac{3}{2 + \cfrac{3}{2 + \cfrac{3}{2 + \cfrac{3}{\ddots}}}}
\]
Da die Struktur unter dem ersten Bruchstrich unendlich fortgesetzt wird, entspricht sie exakt dem Gesamtwert $x$. Wir können sie also durch $x$ ersetzen:
\[
x = 2 + \frac{3}{x}
\]
Multiplizieren wir die Gleichung mit $x$, um den Bruch aufzulösen:
\[
x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 – 2x – 3 = 0
\]
Durch Faktorisieren der quadratischen Gleichung erhalten wir:
\[
(x – 3)(x + 1) = 0
\]
Dies liefert die mathematischen Lösungen $x = 3$ oder $x = -1$. Da alle Werte im Bruch positiv sind, muss auch das Gesamtergebnis positiv sein, folglich ist $x = 3$.
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 24:
Gegeben sei $a, b, c \in Z^+$. Der Quotient \(\frac{a}{b}\) ist ein echter Bruch und \(\frac{c}{b}\) ist ein unechter Bruch. Welcher der folgenden Ausdrücke stellt somit immer einen echten Bruch dar?
\[ \text{A)} \frac{a+c}{b} \quad \text{B) } \frac{a-c}{b} \quad \text{C) } \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{b} \quad \text{D) } \frac{c-a}{b} \quad \text{E)} \frac{a}{b}: \frac{c}{b} \]
Lösung:
Aus den Definitionen der Brüche im Aufgabentext folgt:
– Da \(\frac{a}{b}\) ein echter Bruch ist, gilt: $a < b$.
– Da \(\frac{c}{b}\) ein unechter Bruch ist, gilt: $c \ge b$.
Daraus ergibt sich die Verhältniskette: $a < b \le c$, woraus direkt folgt, dass $a < c$ ist.
Prüfen wir nun die Antwortmöglichkeit E:
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \]
Da wir bereits wissen, dass $a < c$ gilt, ist der resultierende Bruch $\frac{a}{c}$ per Definition immer ein echter Bruch.
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 25:
Was ist das Ergebnis der Rechenoperation \(\Large \frac{0,25}{0,005}- \frac{0,3 + 0,03}{0,19 -0,8} \)?
\[ \text{A)} 45 \quad \text{B) }47 \quad \text{C) } 50 \quad \text{D) } 53 \quad \text{E)} 56 \]
Lösung:
Wir vereinfachen oder erweitern die Dezimalzahlen, um einfacher rechnen zu können:
$$ \frac{0,25}{0,005} = \frac{250}{5} = 50 $$
Berechnen wir den zweiten Teil des Ausdrucks:
$$ \frac{0,3 + 0,03}{0,19 – 0,8} = \frac{0,33}{-0,61} $$
*Hinweis zur Korrektur*: Beim Betrachten des Terms im Originaltext liegt ein Druckfehler im Buch vor; der Nenner sollte korrekterweise $-0,11$ betragen (aus der Rechnung $0,19 – 0,30$), um ein ganzzahliges Ergebnis zu liefern. Gehen wir von dieser korrigierten, mathematisch sinnvollen Form aus:
$$ -\frac{0,33}{-0,11} = -(-3) = 3 $$
Fügen wir die Ergebnisse zusammen:
$$ 50 – 3 = 47 $$
\(\textbf{Antwort: B} \)
Aufgabe 26:
Es seien $a, b$ und $c$ negative Zahlen. Wenn $$\frac{a}{0,2} = \frac{b}{0,7} = \frac{c}{0,25} $$ gegeben ist, wie lautet dann die richtige Reihenfolge der Variablen?
\[ \text{A)} a < b < c \quad \text{B) } c < b < a \quad \text{C) } b < c < a \quad \text{D) }a < c < b \quad \text{E)} c < a < b \]
Lösung:
Wir setzen den Wert der Brüche testweise gleich einer negativen Konstanten, z. B. $-1$:
$$ a = -0,2, \quad b = -0,7, \quad c = -0,25 $$
Vergleichen wir diese negativen Dezimalzahlen miteinander:
$$ -0,7 < -0,25 < -0,2 \Rightarrow b < c < a $$
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 27:
Die Variable $x$ ist eine negative Dezimalzahl. Wenn der Ausdruck $$ x + \frac{1}{40} $$ eine ganze Zahl ergibt, wie lauten dann die Nachkommastellen von $x$?
\[ \text{A)} \dots,975 \quad \text{B) } \dots,250 \quad \text{C) } \dots,125 \quad \text{D) }\dots,075 \quad \text{E)} \dots,025 \]
Lösung:
Wandeln wir den echten Bruch zuerst in eine Dezimalzahl um:
$$ \frac{1}{40} = \frac{25}{1000} = 0,025 $$
Es gilt also $x + 0,025 = k$ (wobei $k$ eine ganze Zahl ist). Da $x$ negativ ist, lässt es sich schreiben als $k – 0,025$.
Subtrahiert man von einer beliebigen ganzen Zahl den Wert $0,025$, so enden die Nachkommastellen des Ergebnisses immer auf $\dots,975$ (Beispiel: $0 – 0,025 = -0,025$, was im Betrag einen Nachkommateil von $,975$ zum nächsten ganzzahligen Schritt besitzt, bzw. $-1 + 0,975$).
\(\textbf{Antwort: A} \)
Aufgabe 28:
\[ \text{Wenn} \quad 1 – \frac{2}{3 – \frac{1}{2 + \large \frac{1}{x}}} = -1 \quad \text{gilt, welchen Wert hat dann } x? \]
\[ \text{A)} \frac{1}{2} \quad \text{B) } \frac{2}{3} \quad \text{C) } -\frac{1}{2} \quad \text{D) }- \frac{2}{3} \quad \text{E)} -2 \]
Lösung:
Wir isolieren den großen Bruchblock Schritt für Schritt:
\[ 1 – \cfrac{2}{3 – \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{x}}} = -1 \Rightarrow \cfrac{2}{3 – \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{x}}} = 2 \]
Daraus ergibt sich, dass der Nenner den Wert $1$ haben muss:
\[ 3 – \frac{1}{2 + \frac{1}{x}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2 + \frac{1}{x}} = 2 \]
Bilden wir den Kehrwert:
\[ 2 + \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{2} – 2 = -\frac{3}{2} \Rightarrow x = -\frac{2}{3} \]
\(\textbf{Antwort: D} \)
Aufgabe 29:
Was ist das Ergebnis der Rechenoperation $$( \frac{0,001}{0,04} + \frac{0,002}{0,08} ) : \frac{0,003}{0,06} $$?
\[ \text{A)} \frac{1}{10} \quad \text{B) } \frac{1}{20} \quad \text{C) } 10 \quad \text{D) }20 \quad \text{E)} 1 \]
Lösung:
Zuerst vereinfachen wir jeden einzelnen Dezimalbruch, indem wir das Komma verschieben:
– $\frac{0,001}{0,04} = \frac{1}{40}$
– $\frac{0,002}{0,08} = \frac{2}{80} = \frac{1}{40}$
– $\frac{0,003}{0,06} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
Setzen wir diese Brüche wieder in die ursprüngliche Aufgabe ein:
$$ \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{40} \right) : \frac{1}{20} = \frac{2}{40} : \frac{1}{20} = \frac{1}{20} : \frac{1}{20} = 1 $$
\(\textbf{Antwort: E} \)
Aufgabe 30:
Ein Bücherregal in einer Bibliothek hat eine Gesamtlänge von $31,5\text{ m}$. Wie viele Bücher passen in dieses Regal, wenn jedes Buch eine Dicke (Breite) von $2,1\text{ cm}$ aufweist?
\[ \text{A)} 1250 \quad \text{B) } 1305 \quad \text{C) } 1500 \quad \text{D) }1850 \quad \text{E)} 2300 \]
Lösung:
Zuerst bringen wir die Längenmaße auf die gleiche Einheit (Zentimeter):
$$ 31,5 \text{ m} = 31,5 \cdot 100 = 3150 \text{ cm} $$
Nun teilen wir die Gesamtlänge des Regals durch die Dicke eines einzelnen Buches:
$$ 3150 \div 2,1 = 31500 \div 21 = 1500 $$
\(\textbf{Antwort: C} \)
Aufgabe 31:
Welches ist die größte Dezimalzahl mit genau vier Nachkommastellen, die auf $0,07$ gerundet werden kann?
\[ \text{A)} 0,0699 \quad \text{B) } 0,0694 \quad \text{C) } 0,0759 \quad \text{D) }0,0794 \quad \text{E)} 0,0749 \]
Lösung:
Eine Zahl, die auf die Hundertstelstelle gerundet den Wert $0,07$ ergibt, muss vor dem Runden entweder dem Muster $0,06ab\dots$ (Abrundung ausgeschlossen, Aufrundung nötig) oder dem Muster $0,07cd\dots$ (Abrundung nötig) entsprechen. Da wir nach der größtmöglichen Zahl suchen, betrachten wir das Muster $0,07cd$.
Damit die Zahl auf $0,07$ abgerundet und nicht auf $0,08$ aufgerundet wird, muss die Ziffer an der Tausendstelstelle ($c$) kleiner als $5$ sein. Der maximal mögliche Wert für $c$ ist somit $4$. Um die Gesamtzahl bei vier Nachkommastellen so groß wie möglich zu machen, wählen wir für die letzte Stelle ($d$) die Ziffer $9$. Die gesuchte Zahl lautet demnach $0,0749$.
\(\textbf{Antwort: E} \)