Der Tangentensatz
Im Dreieck ABC gelte \( a > b > c \).
Wir wählen die Punkte \(D\) und \(E\) so, dass \( |AD| = |AB| = |AE| = c \) gilt. Daraus folgt, dass das Dreieck EBD rechtwinklig ist, also \( m(\hat{ EBD}) = 90^\circ \).
Wir zeichnen \( [BD] \parallel [EF] \), woraus sich \( m(\hat{ BEF} ) = 90^\circ \) ergibt.
Es seien \( m(\hat { ABE}) = m(\hat { AEB}) = \alpha \) und \( m(\hat{ EBC}) = \beta \).
Im Dreieck BEC gilt nach dem Außenwinkelsatz \( \alpha = \beta + C \) und folglich \( \alpha\; -\; \beta = C \).
Da \( \alpha + \beta = B \) ist, erhalten wir durch Lösen des Gleichungssystems:
\[ \alpha = \frac{B + C}{2} \quad \text{und} \quad \beta = \frac{B – C}{2} \]
Im rechtwinkligen Dreieck DBE gilt:
\[ \tan \left( \frac{B + C}{2} \right) = \frac{|BD|}{|BE|} \]
Im rechtwinkligen Dreieck BEF gilt:
\[ \tan \left( \frac{B – C}{2} \right) = \frac{|EF|}{|BE|} \]
Wir dividieren diese beiden Gleichungen durcheinander:
\[
\frac{\tan \left( \frac{B + C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{B\; -\; C}{2} \right)} = \frac{|BD|}{|EF|}
\]
Da die Dreiecke DBC und EFC zueinander ähnlich sind (\( \triangle DBC \sim \triangle EFC \)), gilt für das Seitenverhältnis:
\[
\frac{|BD|}{|EF|} = \frac{|CD|}{|CE|}
\]
Daraus ergibt sich die allgemeine Formel des Tangentensatzes:
\[
\frac{\tan \left( \frac{B + C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{B – C}{2} \right)} = \frac{b + c}{b – c}
\]
Beispiel:
Wir berechnen die Seitenlänge \( |AC| = b \) anhand der gegebenen Abbildung.
Zuerst bestimmen wir die Halbsumme und Halbdifferenz der Winkel:
\[
\frac{B + C}{2} = \frac{105^\circ + 15^\circ}{2} = 60^\circ
\]
\[
\frac{B – C}{2} = \frac{105^\circ – 15^\circ}{2} = 45^\circ
\]
Durch Anwendung des Tangentensatzes im Dreieck ABC erhalten wir:
\[\begin{aligned}& \frac{\tan \left( \frac{B + C}{2} \right)}{\tan \left( \frac{B – C}{2} \right)} = \frac{b + c}{b – c}
\Rightarrow \frac{\tan 60^\circ}{\tan 45^\circ} = \frac{b + 3}{b – 3} \end{aligned}\]
Nach Einsetzen der Funktionswerte lösen wir nach \(b\) auf:
\[\begin{aligned}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{1} = \frac{b + 3}{b – 3} \\ \\
\Rightarrow \sqrt{3} \cdot (b – 3) = b + 3 \\ \\
\Rightarrow \sqrt{3} b – 3 \sqrt{3} = b + 3 \\ \\
\Rightarrow \sqrt{3} b – b = 3 + 3 \sqrt{3} \\ \\
\Rightarrow b(\sqrt{3} – 1) = 3(1 + \sqrt{3}) \end{aligned}\]
\[
\Rightarrow b = 6 + 3 \sqrt{3} \text{ Längeneinheiten.}
\]
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