Winkelmaßeinheiten

 

Winkelmessung

 

Einen Winkel zu messen bedeutet, die Weite zwischen den Schenkeln des Winkels zu bestimmen. Angenommen, ein beweglicher Punkt \(P\) auf einem Kreis startet im Punkt \(A\), vollzieht eine vollständige Umdrehung in positiver Richtung und kehrt zum Punkt \(A\) zurück.

Der Mittelpunktswinkel, der den gesamten Kreisbogen \(\widehat{ABA}\) einschließt, wird als Vollwinkel bezeichnet.

 

1) Grad

 

Teilen wir den gesamten Kreisbogen in 360 gleiche Teile. Der Mittelpunktswinkel, der genau einen dieser Teile einschließt, ist als 1 Grad definiert.

Folglich beträgt das Maß eines Vollwinkels:

\[
360^\circ
\]

Zudem gilt:

\[
1^\circ = 60^{‚} \quad \text{(Minuten)} \quad\quad
1^{‚} = 60^{“ }\quad \text{(Sekunden)}
\]

\[
\frac{|\overset{\frown}{ABA}|}{360^\circ} =\overset{\frown}{AB}
= m(\widehat{AOB}) = 1^\circ
\]

 

2) Gon (Gradian)

 

Teilen wir den gesamten Kreisbogen in 400 gleiche Teile. Der Mittelpunktswinkel, der genau einen dieser Teile einschließt, ist als 1 Gon (oder Grad) definiert. Somit beträgt das Maß eines Vollwinkels 400 Gon.

\[
\frac{|\overset{\frown}{ABA}|}{400} =\overset{\frown}{AB}
= m(\widehat{AOB}) = 1 \;\; \text{Gon}
\]

 

3) Radiant (Bogenmaß)

 

Das Maß eines Mittelpunktswinkels, der einen Kreisbogen von der Länge des Radius einschließt, ist als 1 Radiant definiert. Da der Umfang eines vollständigen Kreises \(2\pi r\) beträgt, berechnet sich ein Vollwinkel nach dieser Definition wie folgt:

\[
\frac{2\pi r}{r} = 2\pi \text{ Radianten.} \]

\[ | \overset{\frown}{AB} | = r, \quad |OA |= r , \quad m(\overset{\frown}{AOB} )= 1 \;\; \text{Radiant} \]

 

Beispiel

 

In der obigen Abbildung beträgt der Radius des Kreises mit dem Mittelpunkt \( O \) genau \( r = 24 \, \text{cm} \) und die Bogenlänge \( |\overset{\frown}{AB}| = 25{,}12 \, \text{cm} \). Wir berechnen den ungefähren Wert des Winkels \( m(\widehat{AOB}) = \theta \). (\( \pi \approx 3{,}14 \))

\[
b = |\theta| \cdot r \Rightarrow 25{,}12 = x \cdot 24
\quad \Rightarrow \quad
x = \frac{25{,}12}{24} \text{ Radianten.}
\]

Um diesen Wert in Abhängigkeit von \(\pi\) auszudrücken:

\[
\begin{aligned}
&3{,}14 \quad \quad &\pi \\
\\
&\frac{25{,}12}{24} \quad \quad & |\theta| \\
\hline
\\
&\text{Da es sich um eine direkte Proportionalität handelt,}
\end{aligned}
\]

\[ \frac{25{,}12}{24} \cdot \frac{\pi}{3{,}14} = |\theta| \]

\[
\Rightarrow |\theta| = \frac{\pi}{3} \text{ Radianten.}
\]

 

Beispiel:

 

Wir bestimmen das Bogenmaß eines Mittelpunktswinkels, der einen Kreisbogen einschließt, dessen Länge das \( 0{,}785 \)-fache des Radius beträgt.

Wenn \( b = 0{,}785\, r \), dann gilt:

\[ b = |\theta| \cdot r \]

\[ \Rightarrow 0{,}785 \cdot r = x \cdot r \]

\[ \Rightarrow x = 0{,}785 \text{ Radianten.} \]

 

 

Daraus folgt:

\[
\begin{aligned}
&3{,}14 \quad &\pi \\
\\
&0{,}785 \quad & |\theta| \\
\hline
\\
&\text{Da es sich um eine direkte Proportionalität handelt,}
\end{aligned}
\]

\[ |\theta| = \frac{0{,}785 \pi }{3{,}14} = \frac{\pi}{4} \]

 

Umrechnung von Winkelmaßeinheiten:

 

Da für einen Vollwinkel die Beziehungen
\[360^\circ = 400 \;\; \text{Gon} = 2\pi \;\; \text{Radianten} \]
gelten, können wir die Maßeinheiten mithilfe der folgenden Verhältnisgleichung ineinander umrechnen:

\[
\frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} = \frac{G}{200}
\]

Daraus ergibt sich:
\[ 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ Radianten} \approx 0{,}0174 \text{ Radianten} \]

\[ 1 \text{ Radiant} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57^\circ. \]

 

Beispiel:

Wir bestimmen das Bogenmaß (Radiant) und das Gradmaß in Gon für einen Winkel von 50°.

\[
\frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} = \frac{G}{200} \Rightarrow \frac{50}{180} = \frac{R}{\pi} = \frac{G}{200}
\]

\[
\Rightarrow R = \frac{50\pi}{180} = \frac{5\pi}{18} \text{ Radianten}
\]

\[
\Rightarrow G = \frac{50 \cdot 200}{180} \Rightarrow G = \frac{500}{9} \text{ Gon.}
\]

 

Beispiel:

 

Wir bestimmen das Gradmaß in Grad und Gon für einen Winkel von \( \frac{11\pi}{2} \) Radianten.

\[
\frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} = \frac{G}{200} \Rightarrow \frac{D}{180} = \frac{\frac{11 \pi }{2} }{\pi} = \frac{G}{200}
\]

\[
\Rightarrow D = \frac{180 \cdot 11\pi}{2\pi} = 990^\circ
\]

\[
\Rightarrow G = \frac{11\pi \cdot 200}{2\pi} \Rightarrow G = 1100 \text{ Gon.}
\]

 

Hinweis:

 

Um den Wert eines im Bogenmaß gegebenen Winkels in Grad umzurechnen, reicht es aus, \( \pi \) durch 180° zu ersetzen.

 

Beispiel:

 

\( \bullet\ \frac{7\pi}{5} \) Radianten = \( \left( \frac{7 \cdot 180}{5} \right)^\circ = 252^\circ \)

\( \bullet\ 11\pi \) Radianten = \( (11 \cdot 180)^\circ = 1980^\circ \).

 

 

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